1. Problem: Berechne die Schnittpunkte der Funktionen f(x) und g(x) für jede Aufgabe. 2. Allgemeine Methode: Schnittpunkte zweier Funktionen erhält man, indem man f(x) = g(x) setzt und die Gleichung löst. 3. Wichtig: Quadratische Gleichungen können 0, 1 oder 2 Lösungen haben. Lösungen sind die x-Werte der Schnittpunkte, y-Werte erhält man durch Einsetzen in f(x) oder g(x). ### a) f(x) = -3x, g(x) = x^2 Setze: -3x = x^2 Umstellen: x^2 + 3x = 0 Faktorisieren: x(x + 3) = 0 Lösungen: x = 0 oder x = -3 Schnittpunkte: (0,0), (-3,9) ### b) f(x) = -x + 3, g(x) = x^2 + 1 Setze: -x + 3 = x^2 + 1 Umstellen: x^2 + x - 2 = 0 Faktorisieren: (x + 2)(x - 1) = 0 Lösungen: x = -2 oder x = 1 Schnittpunkte: (-2,5), (1,2) ### c) f(x) = 2x^2, g(x) = -x + 3 Setze: 2x^2 = -x + 3 Umstellen: 2x^2 + x - 3 = 0 Lösen mit Mitternachtsformel: $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4} = \frac{-1 \pm 5}{4}$$ Lösungen: x = 1 oder x = -\frac{3}{2} Schnittpunkte: (1,2), (-1.5, 6) ### d) f(x) = -2x^2 + x - 1, g(x) = -2x - 3 Setze: -2x^2 + x - 1 = -2x - 3 Umstellen: -2x^2 + x - 1 + 2x + 3 = 0 -2x^2 + 3x + 2 = 0 Multipliziere mit -1: 2x^2 - 3x - 2 = 0 Lösen mit Mitternachtsformel: $$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{3 \pm 5}{4}$$ Lösungen: x = 2 oder x = -\frac{1}{2} Schnittpunkte: (2,-7), (-0.5,-2) ### e) f(x) = 4x^2 + x + 1, g(x) = -2x + 2 Setze: 4x^2 + x + 1 = -2x + 2 Umstellen: 4x^2 + x + 1 + 2x - 2 = 0 4x^2 + 3x - 1 = 0 Lösen mit Mitternachtsformel: $$x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{8} = \frac{-3 \pm 5}{8}$$ Lösungen: x = \frac{1}{4} oder x = -1 Schnittpunkte: (0.25, 1.5), (-1, 4) ### f) f(x) = 3x^2 + 1, g(x) = -2x + 2 Setze: 3x^2 + 1 = -2x + 2 Umstellen: 3x^2 + 1 + 2x - 2 = 0 3x^2 + 2x - 1 = 0 Lösen mit Mitternachtsformel: $$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{6} = \frac{-2 \pm 4}{6}$$ Lösungen: x = \frac{1}{3} oder x = -1 Schnittpunkte: (0.333, 1.333), (-1, 4) ### g) f(x) = -x^2 - x, g(x) = -3x - 3 Setze: -x^2 - x = -3x - 3 Umstellen: -x^2 - x + 3x + 3 = 0 -x^2 + 2x + 3 = 0 Multipliziere mit -1: x^2 - 2x - 3 = 0 Faktorisieren: (x - 3)(x + 1) = 0 Lösungen: x = 3 oder x = -1 Schnittpunkte: (3,-12), (-1,0) ### h) f(x) = -x^2 + 2x + 2, g(x) = -x - 2 Setze: -x^2 + 2x + 2 = -x - 2 Umstellen: -x^2 + 2x + 2 + x + 2 = 0 -x^2 + 3x + 4 = 0 Multipliziere mit -1: x^2 - 3x - 4 = 0 Faktorisieren: (x - 4)(x + 1) = 0 Lösungen: x = 4 oder x = -1 Schnittpunkte: (4,-6), (-1,-1) ### i) f(x) = -2x^2, g(x) = -x - 3 Setze: -2x^2 = -x - 3 Umstellen: -2x^2 + x + 3 = 0 Multipliziere mit -1: 2x^2 - x - 3 = 0 Lösen mit Mitternachtsformel: $$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4} = \frac{1 \pm 5}{4}$$ Lösungen: x = 1.5 oder x = -1 Schnittpunkte: (1.5,-4.5), (-1,-2) ### j) f(x) = 2x^2 - 2x, g(x) = 3x - \frac{9}{8} Setze: 2x^2 - 2x = 3x - \frac{9}{8} Umstellen: 2x^2 - 2x - 3x + \frac{9}{8} = 0 2x^2 - 5x + \frac{9}{8} = 0 Multipliziere mit 8: 16x^2 - 40x + 9 = 0 Lösen mit Mitternachtsformel: $$x = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 576}}{32} = \frac{40 \pm \sqrt{1024}}{32} = \frac{40 \pm 32}{32}$$ Lösungen: x = \frac{72}{32} = 2.25 oder x = \frac{8}{32} = 0.25 Schnittpunkte: (2.25, 4.125), (0.25, 0.75) ### k) f(x) = \frac{9}{8}x^2 - x, g(x) = 4x - 2 Setze: \frac{9}{8}x^2 - x = 4x - 2 Umstellen: \frac{9}{8}x^2 - x - 4x + 2 = 0 \frac{9}{8}x^2 - 5x + 2 = 0 Multipliziere mit 8: 9x^2 - 40x + 16 = 0 Lösen mit Mitternachtsformel: $$x = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 576}}{18} = \frac{40 \pm \sqrt{1024}}{18} = \frac{40 \pm 32}{18}$$ Lösungen: x = 4 oder x = \frac{8}{18} = \frac{4}{9} Schnittpunkte: (4,14), (0.444, -0.222) ### l) f(x) = -2x^2 - x + 2, g(x) = 2x Setze: -2x^2 - x + 2 = 2x Umstellen: -2x^2 - x + 2 - 2x = 0 -2x^2 - 3x + 2 = 0 Multipliziere mit -1: 2x^2 + 3x - 2 = 0 Lösen mit Mitternachtsformel: $$x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4}$$ Lösungen: x = \frac{1}{2} oder x = -2 Schnittpunkte: (0.5,1), (-2,-4) ### m) f(x) = 4x^2 + 2x, g(x) = 5x + 1 Setze: 4x^2 + 2x = 5x + 1 Umstellen: 4x^2 + 2x - 5x - 1 = 0 4x^2 - 3x - 1 = 0 Lösen mit Mitternachtsformel: $$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{8} = \frac{3 \pm 5}{8}$$ Lösungen: x = 1 oder x = -\frac{1}{4} Schnittpunkte: (1,6), (-0.25,-0.25) ### n) f(x) = 6x^2 + x, g(x) = -2x - 1 Setze: 6x^2 + x = -2x - 1 Umstellen: 6x^2 + x + 2x + 1 = 0 6x^2 + 3x + 1 = 0 Lösen mit Mitternachtsformel: $$x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 24}}{12}$$ Diskriminante negativ, keine reellen Schnittpunkte. ### o) f(x) = 4x^2, g(x) = -3x Setze: 4x^2 = -3x Umstellen: 4x^2 + 3x = 0 Faktorisieren: x(4x + 3) = 0 Lösungen: x = 0 oder x = -\frac{3}{4} Schnittpunkte: (0,0), (-0.75, 2.25) ### p) f(x) = 4x^2, g(x) = 2x Setze: 4x^2 = 2x Umstellen: 4x^2 - 2x = 0 Faktorisieren: 2x(2x - 1) = 0 Lösungen: x = 0 oder x = \frac{1}{2} Schnittpunkte: (0,0), (0.5,1) ### q) f(x) = 2x^2, g(x) = 2 Setze: 2x^2 = 2 Umstellen: x^2 = 1 Lösungen: x = 1 oder x = -1 Schnittpunkte: (1,2), (-1,2)