1. مسئله: اثبات کنیم که در الگوی درجه دوم، تفاضل تفاضل‌ها دو برابر جمله متناظر است. 2. تعریف‌ها و فرمول‌ها: - الگوی درجه دوم یعنی دنباله‌ای که جمله‌های آن به صورت چندجمله‌ای درجه دوم تعریف شده‌اند، مثلاً $a_n = An^2 + Bn + C$. - تفاضل اول: $\Delta a_n = a_{n+1} - a_n$. - تفاضل دوم: $\Delta^2 a_n = \Delta a_{n+1} - \Delta a_n$. 3. محاسبه تفاضل اول: $$\Delta a_n = a_{n+1} - a_n = A(n+1)^2 + B(n+1) + C - (An^2 + Bn + C)$$ 4. ساده‌سازی تفاضل اول: $$= A(n^2 + 2n + 1) + Bn + B + C - An^2 - Bn - C = A(2n + 1) + B$$ 5. محاسبه تفاضل دوم: $$\Delta^2 a_n = \Delta a_{n+1} - \Delta a_n = [A(2(n+1) + 1) + B] - [A(2n + 1) + B]$$ 6. ساده‌سازی تفاضل دوم: $$= A(2n + 3) + B - A(2n + 1) - B = A(2n + 3 - 2n - 1) = 2A$$ 7. نتیجه: تفاضل دوم $\Delta^2 a_n$ برابر با $2A$ است که دو برابر ضریب جمله درجه دوم $An^2$ در دنباله است. بنابراین، در الگوی درجه دوم، تفاضل تفاضل‌ها دو برابر ضریب جمله درجه دوم است.