1. **Problemstellung:** Bestimmen Sie die Gleichung der Sekante durch die Punkte P und Q für die Funktionen: a) $f(x) = x^2 - 2$, P$(0|f(0))$, Q$(1|f(1))$ b) $f(x) = -0.5x^2 + 2$, P$(3|f(3))$, Q$(5|f(5))$ c) $f(x) = x^3$, P$(-1|f(-1))$, Q$(2|f(2))$ d) $f(x) = \frac{1}{x}$, P$(10|f(10))$, Q$(80|f(80))$ 2. **Formel für die Sekantengleichung:** Die Sekante ist eine Gerade durch zwei Punkte $P(x_0,y_0)$ und $Q(x_1,y_1)$ mit Steigung $$m = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}$$ Die Geradengleichung lautet dann: $$y = m(x - x_0) + y_0$$ 3. **Lösung a):** Berechne $f(0) = 0^2 - 2 = -2$, also $P(0|-2)$ Berechne $f(1) = 1^2 - 2 = -1$, also $Q(1|-1)$ Steigung: $$m = \frac{-1 - (-2)}{1 - 0} = \frac{1}{1} = 1$$ Sekantengleichung durch $P$: $$y = 1(x - 0) - 2 = x - 2$$ 4. **Lösung b):** Berechne $f(3) = -0.5 \cdot 3^2 + 2 = -0.5 \cdot 9 + 2 = -4.5 + 2 = -2.5$, also $P(3|-2.5)$ Berechne $f(5) = -0.5 \cdot 5^2 + 2 = -0.5 \cdot 25 + 2 = -12.5 + 2 = -10.5$, also $Q(5|-10.5)$ Steigung: $$m = \frac{-10.5 - (-2.5)}{5 - 3} = \frac{-8}{2} = -4$$ Sekantengleichung durch $P$: $$y = -4(x - 3) - 2.5 = -4x + 12 - 2.5 = -4x + 9.5$$ 5. **Lösung c):** Berechne $f(-1) = (-1)^3 = -1$, also $P(-1|-1)$ Berechne $f(2) = 2^3 = 8$, also $Q(2|8)$ Steigung: $$m = \frac{8 - (-1)}{2 - (-1)} = \frac{9}{3} = 3$$ Sekantengleichung durch $P$: $$y = 3(x + 1) - 1 = 3x + 3 - 1 = 3x + 2$$ 6. **Lösung d):** Berechne $f(10) = \frac{1}{10} = 0.1$, also $P(10|0.1)$ Berechne $f(80) = \frac{1}{80} = 0.0125$, also $Q(80|0.0125)$ Steigung: $$m = \frac{0.0125 - 0.1}{80 - 10} = \frac{-0.0875}{70} = -0.00125$$ Sekantengleichung durch $P$: $$y = -0.00125(x - 10) + 0.1 = -0.00125x + 0.0125 + 0.1 = -0.00125x + 0.1125$$