1. **Problema 1:** Semplificare $$\left( \frac{2x-1}{x+1} - 2 \right)^2 : \left( \frac{4}{(x+1)^2} - \frac{2}{x+1} \right) - \frac{1}{x-1}$$. 2. **Formula e regole importanti:** - Per la sottrazione e divisione di frazioni, portiamo tutto a denominatore comune. - Ricordiamo che $$a : b = \frac{a}{b}$$. - Semplifichiamo sempre fattori comuni. 3. **Passi intermedi:** - Calcoliamo $$\frac{2x-1}{x+1} - 2 = \frac{2x-1}{x+1} - \frac{2(x+1)}{x+1} = \frac{2x-1 - 2x - 2}{x+1} = \frac{-3}{x+1}$$. - Quindi $$\left( \frac{2x-1}{x+1} - 2 \right)^2 = \left( \frac{-3}{x+1} \right)^2 = \frac{9}{(x+1)^2}$$. - Calcoliamo il denominatore della divisione: $$\frac{4}{(x+1)^2} - \frac{2}{x+1} = \frac{4}{(x+1)^2} - \frac{2(x+1)}{(x+1)^2} = \frac{4 - 2(x+1)}{(x+1)^2} = \frac{4 - 2x - 2}{(x+1)^2} = \frac{2 - 2x}{(x+1)^2} = \frac{2(1 - x)}{(x+1)^2}$$. - Ora la divisione: $$\frac{9}{(x+1)^2} : \frac{2(1 - x)}{(x+1)^2} = \frac{9}{(x+1)^2} \times \frac{(x+1)^2}{2(1 - x)} = \frac{9}{2(1 - x)}$$. - Ricordiamo che $$1 - x = -(x - 1)$$, quindi: $$\frac{9}{2(1 - x)} = \frac{9}{2 \cdot -(x - 1)} = -\frac{9}{2(x - 1)}$$. - Sottraiamo $$\frac{1}{x-1}$$: $$-\frac{9}{2(x - 1)} - \frac{1}{x - 1} = \frac{-9}{2(x - 1)} - \frac{2}{2(x - 1)} = \frac{-9 - 2}{2(x - 1)} = \frac{-11}{2(x - 1)}$$. **Risposta finale:** $$-\frac{11}{2(x - 1)}$$. --- 2. **Problema 2:** Semplificare $$\left( \frac{a^2+3a+2}{a^2+a-2} - \frac{a^2-3a+2}{a^2 - a - 2} - \frac{4}{1 - a^2} \right) : \frac{4a^3 - 8a^2}{3a^2 - 3a}$$. 3. **Fattorizzazioni:** - $$a^2 + 3a + 2 = (a+1)(a+2)$$ - $$a^2 + a - 2 = (a+2)(a-1)$$ - $$a^2 - 3a + 2 = (a-1)(a-2)$$ - $$a^2 - a - 2 = (a-2)(a+1)$$ - $$1 - a^2 = (1 - a)(1 + a) = -(a-1)(a+1)$$ - $$4a^3 - 8a^2 = 4a^2(a - 2)$$ - $$3a^2 - 3a = 3a(a - 1)$$ 4. **Sostituiamo e semplifichiamo:** - Primo termine: $$\frac{(a+1)(a+2)}{(a+2)(a-1)} = \frac{a+1}{a-1}$$ (cancella $a+2$) - Secondo termine: $$\frac{(a-1)(a-2)}{(a-2)(a+1)} = \frac{a-1}{a+1}$$ (cancella $a-2$) - Terzo termine: $$- \frac{4}{(1 - a^2)} = - \frac{4}{-(a-1)(a+1)} = \frac{4}{(a-1)(a+1)}$$ 5. **Sommiamo i primi due termini:** $$\frac{a+1}{a-1} - \frac{a-1}{a+1} = \frac{(a+1)^2 - (a-1)^2}{(a-1)(a+1)}$$ - Calcoliamo i quadrati: $$(a+1)^2 = a^2 + 2a + 1$$ $$(a-1)^2 = a^2 - 2a + 1$$ - Differenza: $$a^2 + 2a + 1 - (a^2 - 2a + 1) = 4a$$ - Quindi: $$\frac{4a}{(a-1)(a+1)}$$ 6. **Sottraiamo il terzo termine:** $$\frac{4a}{(a-1)(a+1)} - \frac{4}{(a-1)(a+1)} = \frac{4a - 4}{(a-1)(a+1)} = \frac{4(a - 1)}{(a-1)(a+1)}$$ - Cancelliamo $a-1$: $$\frac{\cancel{4}(\cancel{a - 1})}{\cancel{(a-1)}(a+1)} = \frac{4}{a+1}$$ 7. **Divisione per il secondo termine:** $$\frac{4}{a+1} : \frac{4a^2(a - 2)}{3a(a - 1)} = \frac{4}{a+1} \times \frac{3a(a - 1)}{4a^2(a - 2)}$$ - Semplifichiamo 4: $$\frac{\cancel{4}}{a+1} \times \frac{3a(a - 1)}{\cancel{4}a^2(a - 2)} = \frac{3a(a - 1)}{a+1} \times \frac{1}{a^2(a - 2)}$$ - Scomponiamo: $$= \frac{3a(a - 1)}{a+1} \times \frac{1}{a^2(a - 2)} = \frac{3a(a - 1)}{a+1} \times \frac{1}{a^2(a - 2)}$$ - Semplifichiamo $a$: $$= \frac{3\cancel{a}(a - 1)}{a+1} \times \frac{1}{\cancel{a}a(a - 2)} = \frac{3(a - 1)}{a+1} \times \frac{1}{a(a - 2)} = \frac{3(a - 1)}{(a+1)a(a - 2)}$$ **Risposta finale:** $$\frac{3(a - 1)}{a(a + 1)(a - 2)}$$. --- 3. **Problema 3:** Risolvere l'equazione $$\frac{2x+1}{3x} - \frac{1}{3x - x^2} = \frac{6x - 5}{9x - 27}$$. 4. **Fattorizzazioni:** - $$3x - x^2 = x(3 - x)$$ - $$9x - 27 = 9(x - 3)$$ 5. **Riscriviamo l'equazione:** $$\frac{2x+1}{3x} - \frac{1}{x(3 - x)} = \frac{6x - 5}{9(x - 3)}$$ 6. **Portiamo tutto a denominatore comune:** - Il denominatore comune è $$9x(3 - x)$$. - Moltiplichiamo ogni termine per $$9x(3 - x)$$: $$\left( \frac{2x+1}{3x} \right) \times 9x(3 - x) - \left( \frac{1}{x(3 - x)} \right) \times 9x(3 - x) = \left( \frac{6x - 5}{9(x - 3)} \right) \times 9x(3 - x)$$ 7. **Semplifichiamo:** - Primo termine: $$\frac{2x+1}{3x} \times 9x(3 - x) = (2x+1) \times 3(3 - x) = 3(2x+1)(3 - x)$$ - Secondo termine: $$\frac{1}{x(3 - x)} \times 9x(3 - x) = 9$$ - Terzo termine: $$\frac{6x - 5}{9(x - 3)} \times 9x(3 - x) = (6x - 5) x \frac{3 - x}{x - 3}$$ - Notiamo che $$3 - x = -(x - 3)$$, quindi: $$\frac{3 - x}{x - 3} = -1$$ - Quindi il terzo termine diventa: $$(6x - 5) x (-1) = -x(6x - 5) = -6x^2 + 5x$$ 8. **Scriviamo l'equazione:** $$3(2x+1)(3 - x) - 9 = -6x^2 + 5x$$ 9. **Espandiamo:** - $$3(2x+1)(3 - x) = 3[(2x)(3 - x) + 1(3 - x)] = 3[6x - 2x^2 + 3 - x] = 3(6x - 2x^2 + 3 - x) = 3(5x - 2x^2 + 3) = 15x - 6x^2 + 9$$ 10. **Sostituiamo:** $$15x - 6x^2 + 9 - 9 = -6x^2 + 5x$$ - Semplifichiamo: $$15x - 6x^2 = -6x^2 + 5x$$ 11. **Portiamo tutto a sinistra:** $$15x - 6x^2 + 6x^2 - 5x = 0$$ $$10x = 0$$ 12. **Soluzione:** $$x = 0$$ **Risposta finale:** $$x = 0$$.