1. **بيان المسألة:** لدينا المتتالية المعرفة بالعلاقة $u_{n+1} = \frac{3u_n + 2}{2 + u_n}$ مع $u_0 = \frac{3}{2}$. المطلوب: أ) إثبات أن $u_{n+1} = 3 - \frac{4}{2 + u_n}$ لكل $n \in \mathbb{N}$. ب) إثبات بالترجيع أن $0 < u_n < 2$ لكل $n \in \mathbb{N}$. 2. أ) إثبات أن $u_{n+1} - u_n = \frac{(1 + u_n)(2 - u_n)}{2 + u_n}$ لكل $n \in \mathbb{N}$. ب) إثبات أن المتتالية $(u_n)$ تراودية ثم استنتاج أنها متقاربة. ج) إثبات أن $0 < 2 - u_{n+1} \leq \frac{2}{7}(2 - u_n)$ لكل $n \in \mathbb{N}$. د) استنتاج أن $0 < 2 - u_n \leq \frac{1}{2}\left(\frac{2}{7}\right)^n$ لكل $n \in \mathbb{N}$. ه) تحديد نهاية المتتالية $(u_n)$. --- 1. أ) إثبات العلاقة: $$u_{n+1} = \frac{3u_n + 2}{2 + u_n} = \frac{(3)(2 + u_n) - 4}{2 + u_n} = 3 - \frac{4}{2 + u_n}$$ شرح: ضربنا وطرحنا لتبسيط الكسر. 1. ب) إثبات $0 < u_n < 2$ بالترجيع: - قاعدة: $u_0 = \frac{3}{2}$، واضح أن $0 < \frac{3}{2} < 2$. - فرضية الترجيع: نفترض $0 < u_n < 2$. - نثبت $0 < u_{n+1} < 2$: - من التعريف: $$u_{n+1} = \frac{3u_n + 2}{2 + u_n}$$ - المقام $2 + u_n > 2 + 0 = 2 > 0$. - البسط $3u_n + 2 > 3 \times 0 + 2 = 2 > 0$. إذن $u_{n+1} > 0$. - للتحقق من $u_{n+1} < 2$: $$u_{n+1} < 2 \iff \frac{3u_n + 2}{2 + u_n} < 2$$ $$\iff 3u_n + 2 < 2(2 + u_n) = 4 + 2u_n$$ $$\iff 3u_n + 2 < 4 + 2u_n$$ $$\iff 3u_n - 2u_n < 4 - 2$$ $$\iff u_n < 2$$ وهذا صحيح حسب فرضية الترجيع. - إذن بالترجيع $0 < u_n < 2$ لكل $n$. 2. أ) إثبات الفرق: $$u_{n+1} - u_n = \frac{3u_n + 2}{2 + u_n} - u_n = \frac{3u_n + 2 - u_n(2 + u_n)}{2 + u_n} = \frac{3u_n + 2 - 2u_n - u_n^2}{2 + u_n} = \frac{u_n + 2 - u_n^2}{2 + u_n}$$ نرتب البسط: $$u_n + 2 - u_n^2 = (1 + u_n)(2 - u_n)$$ إذاً: $$u_{n+1} - u_n = \frac{(1 + u_n)(2 - u_n)}{2 + u_n}$$ 2. ب) إثبات التراودية: - من 1.ب نعلم أن $0 < u_n < 2$. - إذن $1 + u_n > 1 > 0$ و $2 - u_n > 0$. - المقام $2 + u_n > 0$. - إذن $u_{n+1} - u_n = \frac{(1 + u_n)(2 - u_n)}{2 + u_n} > 0$. - هذا يعني أن المتتالية متزايدة (تراودية). - بما أن المتتالية متزايدة ومحدودة من الأعلى بـ 2، فهي متقاربة. 2. ج) إثبات التباين: نبدأ من العلاقة: $$u_{n+1} = 3 - \frac{4}{2 + u_n}$$ نحسب: $$2 - u_{n+1} = 2 - \left(3 - \frac{4}{2 + u_n}\right) = 2 - 3 + \frac{4}{2 + u_n} = -1 + \frac{4}{2 + u_n} = \frac{4 - (2 + u_n)}{2 + u_n} = \frac{2 - u_n}{2 + u_n}$$ نريد إثبات: $$0 < 2 - u_{n+1} \leq \frac{2}{7}(2 - u_n)$$ نستخدم التعبير: $$2 - u_{n+1} = \frac{2 - u_n}{2 + u_n}$$ لإثبات: $$\frac{2 - u_n}{2 + u_n} \leq \frac{2}{7}(2 - u_n)$$ بقسمة الطرفين على $2 - u_n > 0$: $$\frac{1}{2 + u_n} \leq \frac{2}{7}$$ أي: $$7 \leq 2 \times (2 + u_n) = 4 + 2u_n$$ $$2u_n \geq 3 \Rightarrow u_n \geq \frac{3}{2}$$ وهذا صحيح لأن $u_0 = \frac{3}{2}$ والمتتالية متزايدة. 2. د) استنتاج التباين: من ج: $$2 - u_{n+1} \leq \frac{2}{7}(2 - u_n)$$ بتكرار: $$2 - u_n \leq \left(\frac{2}{7}\right)^n (2 - u_0)$$ وبما أن $2 - u_0 = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$، $$0 < 2 - u_n \leq \frac{1}{2} \left(\frac{2}{7}\right)^n$$ 2. ه) تحديد النهاية: - بما أن $u_n$ متزايدة ومحدودة من الأعلى بـ 2، فهي تتقارب إلى حد $\ell$. - نأخذ النهاية في علاقة المتتالية: $$\ell = 3 - \frac{4}{2 + \ell}$$ نضرب طرفي المعادلة في $2 + \ell$: $$\ell(2 + \ell) = 3(2 + \ell) - 4$$ $$2\ell + \ell^2 = 6 + 3\ell - 4$$ $$\ell^2 + 2\ell = 3\ell + 2$$ $$\ell^2 + 2\ell - 3\ell - 2 = 0$$ $$\ell^2 - \ell - 2 = 0$$ نحل المعادلة التربيعية: $$\ell = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$$ الحلول: $$\ell_1 = 2, \quad \ell_2 = -1$$ وبما أن $u_n > 0$ ومتزايدة، النهاية هي: $$\boxed{2}$$ --- **النتيجة النهائية:** - $u_{n+1} = 3 - \frac{4}{2 + u_n}$ - $0 < u_n < 2$ لكل $n$ - $u_{n+1} - u_n = \frac{(1 + u_n)(2 - u_n)}{2 + u_n} > 0$ (المتتالية متزايدة) - $0 < 2 - u_n \leq \frac{1}{2} \left(\frac{2}{7}\right)^n$ - النهاية $\lim_{n \to \infty} u_n = 2$