1. **بيان المسألة:** لدينا المتتالية العددية $u_n$ المعرفة بالعلاقة: $$u_{n+1} = \frac{3u_n + 2}{2 + u_n}, \quad u_0 = \frac{3}{2}$$ 2. **الجزء 1 (أ): إثبات المعادلة المكافئة** نريد إثبات: $$u_{n+1} = 3 - \frac{4}{2 + u_n}$$ نبدأ من المعادلة الأصلية: $$u_{n+1} = \frac{3u_n + 2}{2 + u_n}$$ نكتب 3 على مقام مشترك: $$3 = \frac{3(2 + u_n)}{2 + u_n} = \frac{6 + 3u_n}{2 + u_n}$$ نحسب الفرق: $$3 - u_{n+1} = \frac{6 + 3u_n}{2 + u_n} - \frac{3u_n + 2}{2 + u_n} = \frac{6 + 3u_n - (3u_n + 2)}{2 + u_n} = \frac{4}{2 + u_n}$$ إذاً: $$u_{n+1} = 3 - \frac{4}{2 + u_n}$$ 3. **الجزء 1 (ب): إثبات $0 < u_n < 2$ لكل $n$ بالترجيع** - الأساس: $u_0 = \frac{3}{2} = 1.5$، إذن $0 < u_0 < 2$. - نفرض أن $0 < u_n < 2$. - نثبت أن $0 < u_{n+1} < 2$: من المعادلة: $$u_{n+1} = \frac{3u_n + 2}{2 + u_n}$$ بما أن $u_n > 0$، فالمقام $2 + u_n > 2 > 0$. نحسب الحد الأعلى: لإثبات $u_{n+1} < 2$: $$u_{n+1} < 2 \iff \frac{3u_n + 2}{2 + u_n} < 2$$ نضرب طرفي المتباينة في $2 + u_n > 0$: $$3u_n + 2 < 2(2 + u_n) = 4 + 2u_n$$ نرتب: $$3u_n + 2 < 4 + 2u_n \iff 3u_n - 2u_n < 4 - 2 \iff u_n < 2$$ وهذا صحيح حسب فرض الترجيع. لإثبات $u_{n+1} > 0$: $$u_{n+1} = \frac{3u_n + 2}{2 + u_n} > 0$$ لأن البسط والمقام موجبان. إذاً بالترجيع $0 < u_n < 2$ لكل $n$. 4. **الجزء 2 (أ): إثبات الفرق بين حدود المتتالية** نحسب: $$u_{n+1} - u_n = \frac{3u_n + 2}{2 + u_n} - u_n = \frac{3u_n + 2 - u_n(2 + u_n)}{2 + u_n} = \frac{3u_n + 2 - 2u_n - u_n^2}{2 + u_n} = \frac{u_n + 2 - u_n^2}{2 + u_n}$$ نرتب البسط: $$u_n + 2 - u_n^2 = (1 + u_n)(2 - u_n)$$ إذاً: $$u_{n+1} - u_n = \frac{(1 + u_n)(2 - u_n)}{2 + u_n}$$ 5. **الجزء 2 (ب): إثبات أن المتتالية تزايدية واستنتاج التقارب** من الجزء السابق: $$u_{n+1} - u_n = \frac{(1 + u_n)(2 - u_n)}{2 + u_n}$$ بما أن $0 < u_n < 2$: - $1 + u_n > 1 > 0$ - $2 - u_n > 0$ - $2 + u_n > 2 > 0$ إذاً البسط والمقام موجبان، إذن: $$u_{n+1} - u_n > 0$$ أي المتتالية تزايدية. وبما أن المتتالية محصورة بين 0 و2 ومتزايدة، فهي متقاربة. 6. **الجزء 2 (ج): إثبات المتباينة** نبدأ من: $$2 - u_{n+1} = 2 - \frac{3u_n + 2}{2 + u_n} = \frac{2(2 + u_n) - (3u_n + 2)}{2 + u_n} = \frac{4 + 2u_n - 3u_n - 2}{2 + u_n} = \frac{2 - u_n}{2 + u_n}$$ نريد إثبات: $$0 < 2 - u_{n+1} \leq \frac{2}{7}(2 - u_n)$$ نقسم الطرفين على $2 - u_n > 0$: $$\frac{2 - u_{n+1}}{2 - u_n} = \frac{1}{2 + u_n} \leq \frac{2}{7}$$ أي: $$2 + u_n \geq \frac{7}{2} = 3.5$$ لكن من $0 < u_n < 2$، الحد الأعلى لـ $2 + u_n$ هو 4، والحد الأدنى 2. لذا نحتاج إلى إثبات أن: $$2 + u_n \geq 3.5$$ وهذا غير صحيح لكل $u_n$ في المجال. لكن إذا نعتبر أن $u_n$ قريب من 2، يمكننا استخدام التقدير التالي: لأن $u_n > \frac{3}{2}$ (من الأساس والترجيع)، $$2 + u_n > 2 + \frac{3}{2} = \frac{7}{2} = 3.5$$ إذاً: $$0 < 2 - u_{n+1} \leq \frac{2}{7}(2 - u_n)$$ 7. **الجزء 2 (د): استنتاج المتباينة المتكررة** من المتباينة السابقة: $$0 < 2 - u_n \leq \frac{1}{2} \left(\frac{2}{7}\right)^n$$ نستخدم البرهان بالترجيع: - الأساس: عند $n=0$: $$2 - u_0 = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$$ و $$\frac{1}{2} \left(\frac{2}{7}\right)^0 = \frac{1}{2}$$ - نفرض أن المتباينة صحيحة عند $n$، نثبتها عند $n+1$: $$2 - u_{n+1} \leq \frac{2}{7}(2 - u_n) \leq \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{2} \left(\frac{2}{7}\right)^n = \frac{1}{2} \left(\frac{2}{7}\right)^{n+1}$$ 8. **الجزء 2 (هـ): تحديد نهاية المتتالية** بما أن: $$0 < 2 - u_n \leq \frac{1}{2} \left(\frac{2}{7}\right)^n$$ والحد الأيمن يذهب إلى 0 عندما $n \to \infty$، إذن: $$\lim_{n \to \infty} (2 - u_n) = 0 \implies \lim_{n \to \infty} u_n = 2$$ **النتيجة النهائية:** $$\boxed{\lim_{n \to \infty} u_n = 2}$$