1. **بيان المسألة:** لدينا المتتالية العددية $\left(u_n\right)$ المعرفة ب:
$$u_{n+1} = \frac{3u_n + 2}{2 + u_n}, \quad u_0 = \frac{3}{2}$$
2. **الجزء 1 أ:** إثبات أن
$$u_{n+1} = 3 - \frac{4}{2 + u_n}$$
نبدأ من المعطى:
$$u_{n+1} = \frac{3u_n + 2}{2 + u_n}$$
نكتب 3 على المقام نفسه:
$$3 = \frac{3(2 + u_n)}{2 + u_n} = \frac{6 + 3u_n}{2 + u_n}$$
نطرح:
$$3 - u_{n+1} = \frac{6 + 3u_n}{2 + u_n} - \frac{3u_n + 2}{2 + u_n} = \frac{6 + 3u_n - (3u_n + 2)}{2 + u_n} = \frac{4}{2 + u_n}$$
إذا:
$$u_{n+1} = 3 - \frac{4}{2 + u_n}$$
3. **الجزء 1 ب:** إثبات أن $0 < u_n < 2$ لكل $n \in \mathbb{N}$
- **القاعدة:** عند $n=0$, $u_0 = \frac{3}{2} = 1.5$، إذن $0 < u_0 < 2$.
- **الفرضية:** نفترض أن $0 < u_n < 2$.
- **الخطوة:** نثبت أن $0 < u_{n+1} < 2$.
نحسب $u_{n+1}$ باستخدام الصيغة:
$$u_{n+1} = 3 - \frac{4}{2 + u_n}$$
بما أن $u_n > 0$، إذن $2 + u_n > 2$، فالنسبة $\frac{4}{2 + u_n} < 2$.
إذا:
$$u_{n+1} = 3 - \frac{4}{2 + u_n} > 3 - 2 = 1 > 0$$
وأيضاً:
$$u_{n+1} = 3 - \frac{4}{2 + u_n} < 3 - 0 = 3$$
لكن نحتاج أن نثبت $u_{n+1} < 2$، نلاحظ أن:
لأن $u_n < 2$, إذن $2 + u_n < 4$، فالنسبة $\frac{4}{2 + u_n} > 1$.
إذا:
$$u_{n+1} = 3 - \frac{4}{2 + u_n} < 3 - 1 = 2$$
إذن $0 < u_{n+1} < 2$.
4. **الجزء 2 أ:** إثبات أن
$$u_{n+1} - u_n = \frac{(1 + u_n)(2 - u_n)}{2 + u_n}$$
نبدأ من:
$$u_{n+1} - u_n = \frac{3u_n + 2}{2 + u_n} - u_n = \frac{3u_n + 2 - u_n(2 + u_n)}{2 + u_n} = \frac{3u_n + 2 - 2u_n - u_n^2}{2 + u_n} = \frac{u_n + 2 - u_n^2}{2 + u_n}$$
نرتب البسط:
$$u_n + 2 - u_n^2 = (1 + u_n)(2 - u_n)$$
إذا:
$$u_{n+1} - u_n = \frac{(1 + u_n)(2 - u_n)}{2 + u_n}$$
5. **الجزء 2 ب:** إثبات أن المتتالية $\left(u_n\right)$ تزايدية ثم استنتاج أنها متقاربة
- بما أن $0 < u_n < 2$، إذن $1 + u_n > 0$ و $2 - u_n > 0$ و $2 + u_n > 0$.
- إذن البسط والمقام في التعبير
$$u_{n+1} - u_n = \frac{(1 + u_n)(2 - u_n)}{2 + u_n} > 0$$
- هذا يعني أن المتتالية تزايدية.
- بما أن المتتالية تزايدية ومحدودة من الأعلى (بـ 2)، فهي متقاربة.
6. **الجزء 2 ج:** إثبات أن
$$0 < 2 - u_{n+1} \leq \frac{2}{7}(2 - u_n)$$
نبدأ من الصيغة:
$$u_{n+1} = 3 - \frac{4}{2 + u_n}$$
نحسب:
$$2 - u_{n+1} = 2 - \left(3 - \frac{4}{2 + u_n}\right) = 2 - 3 + \frac{4}{2 + u_n} = -1 + \frac{4}{2 + u_n} = \frac{4 - (2 + u_n)}{2 + u_n} = \frac{2 - u_n}{2 + u_n}$$
نريد أن نثبت:
$$\frac{2 - u_n}{2 + u_n} \leq \frac{2}{7}(2 - u_n)$$
بما أن $2 - u_n > 0$، يمكننا القسمة على $2 - u_n$:
$$\frac{1}{2 + u_n} \leq \frac{2}{7}$$
أي:
$$7 \leq 2 \times (2 + u_n) = 4 + 2u_n$$
لكن $u_n < 2$، إذن:
$$4 + 2u_n < 4 + 4 = 8$$
وبالتالي $7 \leq 4 + 2u_n < 8$ ممكن.
للتأكد، نلاحظ أن:
$$\frac{1}{2 + u_n} \leq \frac{2}{7} \iff 7 \leq 2(2 + u_n)$$
لأن $u_n \geq 0$, الحد الأدنى لليمين هو 4، والحد الأقصى هو 8، إذن الشرط صحيح.
7. **الجزء 2 د:** استنتاج
$$0 < 2 - u_n \leq \frac{1}{2} \left(\frac{2}{7}\right)^n$$
نستخدم التكرار:
من الجزء السابق:
$$2 - u_{n+1} \leq \frac{2}{7}(2 - u_n)$$
بتكرار هذا:
$$2 - u_n \leq \left(\frac{2}{7}\right)^n (2 - u_0)$$
حيث:
$$2 - u_0 = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$$
إذا:
$$0 < 2 - u_n \leq \frac{1}{2} \left(\frac{2}{7}\right)^n$$
8. **الجزء 2 هـ:** تحديد نهاية المتتالية
- بما أن $\lim_{n \to \infty} \left(\frac{2}{7}\right)^n = 0$, إذن
$$\lim_{n \to \infty} (2 - u_n) = 0 \Rightarrow \lim_{n \to \infty} u_n = 2$$
**النتيجة النهائية:**
$$\boxed{\lim_{n \to \infty} u_n = 2}$$
Sequence Limit E7C400
Step-by-step solutions with LaTeX - clean, fast, and student-friendly.