1. **بيان المسألة:** لدينا المتتالية (Un) معرفة ب: $$U_0 = -1$$ $$U_{n+1} = \frac{3}{2} U_n - 1$$ والمتتالية (Vn) معرفة ب: $$V_n = U_n - 2$$ 2. **حساب القيم الأولى لـ U_n:** - $U_0 = -1$ - $U_1 = \frac{3}{2} \times (-1) - 1 = -\frac{3}{2} - 1 = -\frac{5}{2}$ - $U_2 = \frac{3}{2} \times (-\frac{5}{2}) - 1 = -\frac{15}{4} - 1 = -\frac{19}{4}$ - $U_3 = \frac{3}{2} \times (-\frac{19}{4}) - 1 = -\frac{57}{8} - 1 = -\frac{65}{8}$ 3. **حساب القيم الأولى لـ V_n:** - $V_0 = U_0 - 2 = -1 - 2 = -3$ - $V_1 = U_1 - 2 = -\frac{5}{2} - 2 = -\frac{9}{2}$ - $V_2 = U_2 - 2 = -\frac{19}{4} - 2 = -\frac{27}{4}$ - $V_3 = U_3 - 2 = -\frac{65}{8} - 2 = -\frac{81}{8}$ 4. **حساب نسبة $\frac{V_{n+1}}{V_n}$:** نستخدم العلاقة: $$V_{n+1} = U_{n+1} - 2 = \frac{3}{2} U_n - 1 - 2 = \frac{3}{2} U_n - 3$$ لكن $V_n = U_n - 2$، إذن: $$V_{n+1} = \frac{3}{2} (V_n + 2) - 3 = \frac{3}{2} V_n + 3 - 3 = \frac{3}{2} V_n$$ إذاً: $$\frac{V_{n+1}}{V_n} = \frac{3}{2}$$ وبالتالي المتتالية (Vn) هندسية أساسها $\frac{3}{2}$ وحدها الأول هو: $$V_0 = -3$$ 5. **كتابة $V_n$ بدلالة $n$:** لأن (Vn) هندسية: $$V_n = V_0 \times \left(\frac{3}{2}\right)^n = -3 \times \left(\frac{3}{2}\right)^n$$ 6. **استنتاج $U_n$ بدلالة $n$:** من تعريف $V_n$: $$U_n = V_n + 2 = -3 \times \left(\frac{3}{2}\right)^n + 2$$ 7. **حساب النهايات:** - لأن $\left|\frac{3}{2}\right| > 1$، المتتالية (Vn) تتجه إلى $\pm \infty$ حسب الإشارة، وبما أن $V_0$ سالب والأساس موجب أكبر من 1، فإن: $$\lim_{n \to +\infty} V_n = -\infty$$ - وبما أن $U_n = V_n + 2$، فإن: $$\lim_{n \to +\infty} U_n = -\infty$$ --- **تمرين 2:** 1) $$\lim_{n \to +\infty} (n^2 - 5n^3 + 4) = -\infty$$ لأن الحد $-5n^3$ هو الأعلى درجة وله معامل سالب. 2) $$\lim_{n \to +\infty} \frac{7n^2 + 3n + 1}{n^5 + 3} = 0$$ لأن المقام من الدرجة 5 والبسط من الدرجة 2. 3) $$\lim_{n \to +\infty} \frac{6n^2 + 8n + 7}{n^4 + 3} = 0$$ لأن المقام من الدرجة 4 والبسط من الدرجة 2. 4) $$\lim_{n \to +\infty} \frac{7n^4 + 2n - 1}{n^4 + 9} = 7$$ لأن أعلى درجة في البسط والمقام هي 4 ونسبة المعاملات هي 7/1. 5) $$\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{5}{n} - 1\right) \left(\frac{1}{\sqrt{n}} + 2\right) = (-1) \times 2 = -2$$ لأن $\frac{5}{n} \to 0$ و $\frac{1}{\sqrt{n}} \to 0$. 6) $$\lim_{n \to +\infty} (n^n - 3^n) = +\infty$$ لأن $n^n$ ينمو أسرع بكثير من $3^n$. النتائج النهائية: - $U_n = -3 \times \left(\frac{3}{2}\right)^n + 2$ - $V_n = -3 \times \left(\frac{3}{2}\right)^n$ - $\lim_{n \to +\infty} U_n = -\infty$ - $\lim_{n \to +\infty} V_n = -\infty$ - حدود التمرين 2 كما في الخطوة 7 أعلاه.