1. **بيان المسألة:** لدينا متتالية عددية $U_n$ معرفة على مجموعة الأعداد الطبيعية، ونريد إثبات بعض الخصائص المتعلقة بها. 2. **التمرين الأول:** تحقق أن $24 + 42 + 10$، ماذا تستنتج؟ - يبدو أن هناك خطأ في النص الأصلي، لكن سنركز على إثبات خاصية المتتالية. 3. **التمرين الثاني:** برهن بالتراجع أن $U_n$ موجبة تمامًا لكل $n$ طبيعي. - قاعدة التراجع: نثبت أن $U_0 > 0$. - نفترض أن $U_k > 0$ لكل $k \\leq n$. - نثبت أن $U_{n+1} > 0$ باستخدام علاقة المتتالية. 4. **التمرين الثالث:** أثبت أن المتتالية $U_n$ حسابية أساسها 1. - نستخدم تعريف المتتالية الحسابية: الفرق بين حدين متتاليين ثابت. - نثبت أن $U_{n+1} - U_n = 1$. 5. **حساب الحد العام:** - بما أن المتتالية حسابية أساسها 1، فإن $U_n = U_0 + n \times 1 = U_0 + n$. 6. **حساب المجموع $S_n$:** - مجموع أول $n$ حدود لمتتالية حسابية هو $$S_n = \frac{n+1}{2} (U_0 + U_n)$$ - نعوض $U_n = U_0 + n$ لنحصل على $$S_n = \frac{n+1}{2} (U_0 + U_0 + n) = \frac{n+1}{2} (2U_0 + n)$$ 7. **استنتاج النهاية:** - إذا كانت المتتالية متقاربة، فإن $$\lim_{n \to \infty} U_n = \lim_{n \to \infty} (U_0 + n) = +\infty$$ - إذن المتتالية غير متقاربة. **النتيجة النهائية:** - المتتالية $U_n$ حسابية أساسها 1 وحدها العام $U_n = U_0 + n$. - مجموع أول $n$ حدود هو $S_n = \frac{n+1}{2} (2U_0 + n)$. - المتتالية غير متقاربة لأنها تزداد بلا حدود.