1. **بيان المسألة:** لدينا نظام معادلات خطية: $$u_0 + u_2 = 10$$ $$u_2 + u_3 + u_4 = 27$$ ومتتابعة معرفة بالعلاقة: $$u_n = 3 + 2n$$ نريد حساب مجموع: $$S = u_6 + u_7 + \cdots + u_{35}$$ لدينا متتابعتان أخريان: $$v_n = 4 \times 3^n$$ $$u_n = 2 - 6n$$ والفرق: $$v_{n+1} - v_n = 8 \times 3^n$$ ومجموع: $$S'_n = v_0 + v_1 + \cdots + v_n$$ 2. **حل النظام الأول:** نعوض في المعادلات الأولى باستخدام $u_n = 3 + 2n$: - $u_0 = 3 + 2 \times 0 = 3$ - $u_2 = 3 + 2 \times 2 = 7$ نحسب: $$u_0 + u_2 = 3 + 7 = 10$$ وهذا يطابق المعادلة الأولى. نحسب $u_3$ و $u_4$: - $u_3 = 3 + 2 \times 3 = 9$ - $u_4 = 3 + 2 \times 4 = 11$ نحسب المجموع: $$u_2 + u_3 + u_4 = 7 + 9 + 11 = 27$$ وهذا يطابق المعادلة الثانية. 3. **حساب مجموع $S = u_6 + u_7 + \cdots + u_{35}$:** نعوض عن $u_n$: $$S = \sum_{n=6}^{35} (3 + 2n) = \sum_{n=6}^{35} 3 + \sum_{n=6}^{35} 2n$$ عدد الحدود من 6 إلى 35 هو: $$35 - 6 + 1 = 30$$ إذا: $$\sum_{n=6}^{35} 3 = 3 \times 30 = 90$$ ولحساب $\sum_{n=6}^{35} n$: $$\sum_{n=1}^{35} n = \frac{35 \times 36}{2} = 630$$ $$\sum_{n=1}^{5} n = \frac{5 \times 6}{2} = 15$$ إذا: $$\sum_{n=6}^{35} n = 630 - 15 = 615$$ وبالتالي: $$\sum_{n=6}^{35} 2n = 2 \times 615 = 1230$$ إذن: $$S = 90 + 1230 = 1320$$ 4. **التحقق من الفرق $v_{n+1} - v_n$:** نعرف: $$v_n = 4 \times 3^n$$ إذا: $$v_{n+1} = 4 \times 3^{n+1} = 4 \times 3 \times 3^n = 12 \times 3^n$$ الفرق: $$v_{n+1} - v_n = 12 \times 3^n - 4 \times 3^n = 8 \times 3^n$$ وهذا يطابق المعطى. 5. **حساب مجموع $S'_n = v_0 + v_1 + \cdots + v_n$:** هذه متتابعة هندسية حيث: - الحد الأول $a = v_0 = 4 \times 3^0 = 4$ - النسبة $r = 3$ مجموع $n+1$ حدود: $$S'_n = a \frac{r^{n+1} - 1}{r - 1} = 4 \times \frac{3^{n+1} - 1}{3 - 1} = 2 (3^{n+1} - 1)$$ **النتائج النهائية:** - تحقق النظام الأول صحيح. - مجموع $S = 1320$. - الفرق $v_{n+1} - v_n = 8 \times 3^n$. - مجموع $S'_n = 2 (3^{n+1} - 1)$.