1. **Énoncé du problème 1** : Trouver trois entiers $a$, $b$, $c$ tels que $$\frac{5}{n} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$$ pour $n=3$, $n=4$ et $n=9$. 2. **Méthode** : On cherche des décompositions en fractions égyptiennes. On doit trouver $a,b,c$ entiers positifs vérifiant l'égalité. 3. **Pour $n=3$** : $$\frac{5}{3} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$$ Essayons $a=1$ (car $\frac{1}{1}=1$) : $$\frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$$ Cherchons $b,c$ tels que $$\frac{2}{3} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$$ Prenons $b=2$ : $$\frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4}{6} - \frac{3}{6} = \frac{1}{6} = \frac{1}{c} \Rightarrow c=6$$ Donc pour $n=3$, $a=1$, $b=2$, $c=6$. 4. **Pour $n=4$** : $$\frac{5}{4} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$$ Essayons $a=1$ : $$\frac{5}{4} - 1 = \frac{1}{4} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$$ Prenons $b=4$ : $$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0 = \frac{1}{c} \Rightarrow c = \infty$$ Ce n'est pas possible, essayons $a=2$ : $$\frac{5}{4} - \frac{1}{2} = \frac{5}{4} - \frac{2}{4} = \frac{3}{4} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$$ Prenons $b=2$ : $$\frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1}{4} = \frac{1}{c} \Rightarrow c=4$$ Donc pour $n=4$, $a=2$, $b=2$, $c=4$. 5. **Pour $n=9$** : $$\frac{5}{9} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$$ Essayons $a=2$ : $$\frac{5}{9} - \frac{1}{2} = \frac{10}{18} - \frac{9}{18} = \frac{1}{18} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$$ Prenons $b=18$ : $$\frac{1}{18} - \frac{1}{18} = 0 = \frac{1}{c} \Rightarrow c=\infty$$ Non possible, essayons $a=3$ : $$\frac{5}{9} - \frac{1}{3} = \frac{5}{9} - \frac{3}{9} = \frac{2}{9} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$$ Prenons $b=5$ : $$\frac{2}{9} - \frac{1}{5} = \frac{10}{45} - \frac{9}{45} = \frac{1}{45} = \frac{1}{c} \Rightarrow c=45$$ Donc pour $n=9$, $a=3$, $b=5$, $c=45$. --- 6. **Énoncé du problème 2** : 80% des candidats ont réussi un test. La moyenne générale est 15, la moyenne des réussites est 16. Trouver la moyenne des échecs. 7. **Formule** : Soit $x$ la moyenne des échecs, $p=0.8$ la proportion de réussites, $1-p=0.2$ celle des échecs. La moyenne générale est la moyenne pondérée : $$15 = 0.8 \times 16 + 0.2 \times x$$ 8. **Calcul** : $$15 = 12.8 + 0.2x$$ $$0.2x = 15 - 12.8 = 2.2$$ $$x = \frac{2.2}{0.2} = 11$$ **Réponse finale** : - Pour $n=3$, $(a,b,c) = (1,2,6)$ - Pour $n=4$, $(a,b,c) = (2,2,4)$ - Pour $n=9$, $(a,b,c) = (3,5,45)$ - Moyenne des échecs = 11