1. Problema: Simplificar la expresión $$\left(\frac{X^{3/2}}{X^{1/2}}\right)^2$$. Usamos la ley de los exponentes para división: $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$. Entonces: $$\left(\frac{X^{3/2}}{X^{1/2}}\right)^2 = \left(X^{3/2 - 1/2}\right)^2 = \left(X^{1}\right)^2 = X^{2}$$. 2. Problema: Simplificar $$\left(X^{1/2} \cdot X^{3/2}\right)^{4/3}$$. Usamos la ley de los exponentes para multiplicación: $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$. Entonces: $$\left(X^{1/2 + 3/2}\right)^{4/3} = \left(X^{2}\right)^{4/3} = X^{2 \cdot \frac{4}{3}} = X^{\frac{8}{3}}$$. 3. Problema: Simplificar $$\left(X^{-1/2} \cdot X^{1/2}\right)^3$$. Multiplicamos exponentes: $$X^{-1/2 + 1/2} = X^{0} = 1$$. Elevamos a la 3: $$1^3 = 1$$. 4. Problema: Simplificar $$\left(\frac{9X^9}{X^3}\right)^{2/3}$$. Simplificamos la fracción: $$\frac{9X^9}{X^3} = 9X^{9-3} = 9X^{6}$$. Elevamos a la potencia: $$\left(9X^{6}\right)^{2/3} = 9^{2/3} \cdot X^{6 \cdot 2/3} = 9^{2/3} \cdot X^{4}$$. Recordando que $$9 = 3^2$$, entonces: $$9^{2/3} = (3^2)^{2/3} = 3^{4/3}$$. Por lo tanto: $$3^{4/3} X^{4}$$. 5. Problema: Simplificar $$Y^{1/4} \cdot Y^{-3/2} \cdot Y^{-5/8}$$. Sumamos exponentes: $$1/4 - 3/2 - 5/8 = \frac{2}{8} - \frac{12}{8} - \frac{5}{8} = \frac{2 - 12 - 5}{8} = \frac{-15}{8}$$. Entonces: $$Y^{-15/8}$$. 6. Problema: Simplificar $$\left(X^{4/3}\right)^{-1/2}$$. Multiplicamos exponentes: $$X^{4/3 \cdot (-1/2)} = X^{-2/3}$$. 7. Problema: Simplificar $$\left(\frac{X^{-3/4}}{X^{3/2}}\right)^{-1/4}$$. Primero simplificamos la fracción: $$\frac{X^{-3/4}}{X^{3/2}} = X^{-3/4 - 3/2} = X^{-3/4 - 6/4} = X^{-9/4}$$. Ahora elevamos a la potencia: $$\left(X^{-9/4}\right)^{-1/4} = X^{-9/4 \cdot (-1/4)} = X^{9/16}$$. Respuesta final: a) $$X^{2}$$ b) $$X^{8/3}$$ c) $$1$$ d) $$3^{4/3} X^{4}$$ e) $$Y^{-15/8}$$ f) $$X^{-2/3}$$ g) $$X^{9/16}$$