1. Planteamos el problema: Simplificar completamente la expresión
$$\left[ \frac{2}{x-1} - \frac{3}{x+2} \middle/ \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+2} \right] \div \left( \frac{x^2 - 4}{x^2 + x - 2} \right) + \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 1}$$
2. Simplificamos la fracción compleja del numerador:
\[
\frac{2}{x-1} - \frac{3}{x+2} = \frac{2(x+2) - 3(x-1)}{(x-1)(x+2)} = \frac{2x + 4 - 3x + 3}{(x-1)(x+2)} = \frac{-x + 7}{(x-1)(x+2)}
\]
3. Simplificamos la fracción compleja del denominador:
\[
\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+2} = \frac{x+2 + x-1}{(x-1)(x+2)} = \frac{2x + 1}{(x-1)(x+2)}
\]
4. Por lo tanto, la fracción compleja es:
\[
\frac{\frac{-x + 7}{(x-1)(x+2)}}{\frac{2x + 1}{(x-1)(x+2)}} = \frac{-x + 7}{(x-1)(x+2)} \times \frac{(x-1)(x+2)}{2x + 1}
\]
5. Cancelamos los factores comunes:
\[
= \frac{-x + 7}{\cancel{(x-1)(x+2)}} \times \frac{\cancel{(x-1)(x+2)}}{2x + 1} = \frac{-x + 7}{2x + 1}
\]
6. Simplificamos la división por la fracción \( \frac{x^2 - 4}{x^2 + x - 2} \):
Factorizamos numerador y denominador:
\[
x^2 - 4 = (x-2)(x+2), \quad x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1)
\]
7. Por lo tanto:
\[
\frac{x^2 - 4}{x^2 + x - 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)(x-1)} = \frac{x-2}{x-1}
\]
8. Dividir por esta fracción es multiplicar por su inversa:
\[
\frac{-x + 7}{2x + 1} \div \frac{x-2}{x-1} = \frac{-x + 7}{2x + 1} \times \frac{x-1}{x-2}
\]
9. No hay factores comunes para cancelar, así que:
\[
= \frac{(-x + 7)(x-1)}{(2x + 1)(x-2)}
\]
10. Simplificamos el último término:
\[
\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 1}
\]
Factorizamos:
\[
x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2), \quad x^2 - 1 = (x-1)(x+1)
\]
Cancelamos \(x-1\):
\[
= \frac{x-2}{x+1}
\]
11. Sumamos la expresión resultante con el último término:
\[
\frac{(-x + 7)(x-1)}{(2x + 1)(x-2)} + \frac{x-2}{x+1}
\]
12. Encontramos el mínimo común múltiplo (MCM) de los denominadores:
\[
(2x + 1)(x-2)(x+1)
\]
13. Reescribimos cada fracción con el MCM:
\[
\frac{(-x + 7)(x-1)(x+1)}{(2x + 1)(x-2)(x+1)} + \frac{(x-2)(2x + 1)}{(x+1)(2x + 1)(x-2)}
\]
14. Expandimos los numeradores:
\[
(-x + 7)(x-1)(x+1) = (-x + 7)(x^2 - 1) = -x^3 + 7x^2 + x - 7
\]
\[
(x-2)(2x + 1) = 2x^2 - 3x - 2
\]
15. Sumamos los numeradores:
\[
(-x^3 + 7x^2 + x - 7) + (2x^2 - 3x - 2) = -x^3 + 9x^2 - 2x - 9
\]
16. Por lo tanto, la expresión simplificada es:
\[
\frac{-x^3 + 9x^2 - 2x - 9}{(2x + 1)(x-2)(x+1)}
\]
**Respuesta final:**
$$
\boxed{\frac{-x^3 + 9x^2 - 2x - 9}{(2x + 1)(x-2)(x+1)}}
$$
Esta es la forma completamente simplificada de la expresión dada.
Simplificacion Fraccion 2Dd4Ae
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