1. Planteamos el problema: Simplificar la expresión $$\frac{x^{2} - 1}{x^{3} + 8} \cdot \frac{x^{9} - x^{8} - 6x^{7}}{x^{5} + x^{4}} \div \frac{x^{3} - 4x^{2} + x + 6}{x^{6} - 16}$$ 2. Recordemos que dividir por una fracción es multiplicar por su inversa, por lo que: $$\frac{x^{2} - 1}{x^{3} + 8} \cdot \frac{x^{9} - x^{8} - 6x^{7}}{x^{5} + x^{4}} \cdot \frac{x^{6} - 16}{x^{3} - 4x^{2} + x + 6}$$ 3. Factorizamos cada término: - $x^{2} - 1 = (x-1)(x+1)$ (diferencia de cuadrados) - $x^{3} + 8 = (x+2)(x^{2} - 2x + 4)$ (suma de cubos) - $x^{9} - x^{8} - 6x^{7} = x^{7}(x^{2} - x - 6) = x^{7}(x-3)(x+2)$ - $x^{5} + x^{4} = x^{4}(x+1)$ - $x^{6} - 16 = (x^{3} - 2)(x^{3} + 2)$ (diferencia de cuadrados) - $x^{3} - 4x^{2} + x + 6$ factorizamos por agrupación: \begin{align*} x^{3} - 4x^{2} + x + 6 &= (x^{3} - 4x^{2}) + (x + 6) \\ &= x^{2}(x - 4) + 1(x + 6) \\ \text{No es factor común, intentamos otra agrupación:} \\ &= (x^{3} + x) - (4x^{2} - 6) \\ &= x(x^{2} + 1) - 2(2x^{2} - 3) \\ \text{No es factor común, intentamos división sintética o prueba de raíces:} \\ \text{Probamos } x=2: 8 - 16 + 2 + 6 = 0 \Rightarrow x-2 \text{ es factor} \\ \text{Dividimos } x^{3} - 4x^{2} + x + 6 \text{ entre } x-2:\\ \text{Cociente: } x^{2} - 2x - 3 \\ \text{Factorizamos } x^{2} - 2x - 3 = (x-3)(x+1) \\ \text{Por lo tanto } x^{3} - 4x^{2} + x + 6 = (x-2)(x-3)(x+1) \end{align*} 4. Reescribimos la expresión con factores: $$\frac{(x-1)(x+1)}{(x+2)(x^{2} - 2x + 4)} \cdot \frac{x^{7}(x-3)(x+2)}{x^{4}(x+1)} \cdot \frac{(x^{3} - 2)(x^{3} + 2)}{(x-2)(x-3)(x+1)}$$ 5. Simplificamos factores comunes: - Cancelamos $(x+1)$ en numerador y denominador - Cancelamos $(x+2)$ en numerador y denominador - Cancelamos $(x-3)$ en numerador y denominador Queda: $$\frac{(x-1)}{(x^{2} - 2x + 4)} \cdot \frac{x^{7}}{x^{4}} \cdot \frac{(x^{3} - 2)(x^{3} + 2)}{(x-2)(x+1)}$$ 6. Simplificamos $\frac{x^{7}}{x^{4}} = x^{7-4} = x^{3}$ 7. Recordamos que $(x^{3} - 2)(x^{3} + 2) = x^{6} - 4$ (diferencia de cuadrados) 8. La expresión queda: $$\frac{(x-1)}{(x^{2} - 2x + 4)} \cdot x^{3} \cdot \frac{x^{6} - 4}{(x-2)(x+1)}$$ 9. Multiplicamos numeradores y denominadores: Numerador: $(x-1) \cdot x^{3} \cdot (x^{6} - 4) = x^{3}(x-1)(x^{6} - 4)$ Denominador: $(x^{2} - 2x + 4)(x-2)(x+1)$ 10. Resultado final: $$\frac{x^{3}(x-1)(x^{6} - 4)}{(x^{2} - 2x + 4)(x-2)(x+1)}$$ Este es el resultado simplificado de la expresión original.