1. Planteamos el problema: Simplificar las siguientes operaciones con raíces de distintos índices. 2. Recordemos que para multiplicar o dividir raíces del mismo índice, podemos operar dentro de una sola raíz: $$\sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \times b}$$ $$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$$ 3. a) $$\sqrt[3]{4} \times \sqrt[3]{10} = \sqrt[3]{4 \times 10} = \sqrt[3]{40}$$ No se puede simplificar más porque 40 no tiene factores cúbicos perfectos. 4. b) $$-\sqrt[4]{75} \times \sqrt[4]{50} = -\sqrt[4]{75 \times 50} = -\sqrt[4]{3750}$$ Factorizamos 3750: $$3750 = 2 \times 3 \times 5^4$$ Extraemos la raíz cuarta de $5^4$: $$-\sqrt[4]{2 \times 3 \times \cancel{5^4}} = -5 \sqrt[4]{6}$$ 5. c) $$-\sqrt[5]{45} \times (-\sqrt[5]{81}) = (-1)(-1) \sqrt[5]{45 \times 81} = \sqrt[5]{3645}$$ Factorizamos 3645: $$3645 = 3^6 \times 5$$ Extraemos la raíz quinta de $3^5$: $$\sqrt[5]{3^5 \times 3 \times 5} = 3 \sqrt[5]{15}$$ 6. d) $$\frac{\sqrt[3]{320}}{\sqrt[3]{10}} = \sqrt[3]{\frac{320}{10}} = \sqrt[3]{32}$$ Sabemos que $32 = 2^5$, y $\sqrt[3]{32} = \sqrt[3]{2^5} = 2 \sqrt[3]{4}$ 7. e) $$\frac{\sqrt[3]{486}}{-\sqrt[3]{6}} = -\sqrt[3]{\frac{486}{6}} = -\sqrt[3]{81}$$ Sabemos que $81 = 3^4$, entonces: $$-\sqrt[3]{3^4} = -3 \sqrt[3]{3}$$ 8. f) $$\frac{-\sqrt[4]{192}}{-\sqrt[4]{6}} = \frac{-1}{-1} \sqrt[4]{\frac{192}{6}} = \sqrt[4]{32}$$ Sabemos que $32 = 2^5$, entonces: $$\sqrt[4]{2^5} = 2 \sqrt[4]{2}$$ Respuesta final: a) $\sqrt[3]{40}$ b) $-5 \sqrt[4]{6}$ c) $3 \sqrt[5]{15}$ d) $2 \sqrt[3]{4}$ e) $-3 \sqrt[3]{3}$ f) $2 \sqrt[4]{2}$