1. Planteamos el problema: Simplificar la expresión doble sumatoria $$\sum_{n=1}^{\infty} \sum_{k=1}^{2n-1} \frac{(-1)^{k+1} k \cdot a^{k-1} e^{-a} (2n - k + a + 1) \Gamma(2n - k)}{2^{2n} (n!)^2}$$ 2. Observamos que la expresión involucra sumas infinitas, factoriales, la función Gamma y potencias de $a$ y $e^{-a}$. 3. Recordemos que $\Gamma(m) = (m-1)!$ para enteros positivos $m$. 4. Reescribimos $\Gamma(2n-k) = (2n-k-1)!$ para simplificar la notación. 5. La expresión queda: $$\sum_{n=1}^{\infty} \sum_{k=1}^{2n-1} \frac{(-1)^{k+1} k a^{k-1} e^{-a} (2n - k + a + 1) (2n-k-1)!}{2^{2n} (n!)^2}$$ 6. Factorizamos $e^{-a}$ fuera de la sumatoria ya que no depende de $n$ ni $k$: $$e^{-a} \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{k=1}^{2n-1} \frac{(-1)^{k+1} k a^{k-1} (2n - k + a + 1) (2n-k-1)!}{2^{2n} (n!)^2}$$ 7. Para simplificar, analizamos la sumatoria interna en $k$ para un $n$ fijo. Sin embargo, la presencia de $a$ dentro del término $(2n - k + a + 1)$ complica la separación. 8. Intentamos separar la sumatoria interna en dos partes: $$\sum_{k=1}^{2n-1} (-1)^{k+1} k a^{k-1} (2n-k-1)! \frac{2n - k + 1}{2^{2n} (n!)^2} + a \sum_{k=1}^{2n-1} (-1)^{k+1} k a^{k-1} (2n-k-1)! \frac{1}{2^{2n} (n!)^2}$$ 9. Sin embargo, la complejidad de los términos factoriales y la dependencia de $k$ en los factores impide una simplificación directa sin información adicional o restricciones sobre $a$. 10. Por lo tanto, la expresión dada no se puede simplificar más en forma cerrada sin condiciones adicionales. Respuesta final: $$\boxed{\sum_{n=1}^{\infty} \sum_{k=1}^{2n-1} \frac{(-1)^{k+1} k a^{k-1} e^{-a} (2n - k + a + 1) \Gamma(2n - k)}{2^{2n} (n!)^2} \text{ no se simplifica más sin información adicional}}$$