1. Planteamos el problema: Simplificar completamente la expresión $$\left[ \frac{ \frac{2}{x-1} - \frac{3}{x+2}}{\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+2}} \right] \div \left( \frac{x^2 - 4}{x^2 + x - 2} \right) + \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 1}$$ 2. Recordemos que para simplificar fracciones complejas, primero simplificamos numerador y denominador por separado, luego dividimos y sumamos las fracciones restantes. 3. Simplificamos el numerador de la fracción compleja: $$\frac{2}{x-1} - \frac{3}{x+2} = \frac{2(x+2) - 3(x-1)}{(x-1)(x+2)} = \frac{2x + 4 - 3x + 3}{(x-1)(x+2)} = \frac{-x + 7}{(x-1)(x+2)}$$ 4. Simplificamos el denominador de la fracción compleja: $$\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+2} = \frac{(x+2) + (x-1)}{(x-1)(x+2)} = \frac{2x + 1}{(x-1)(x+2)}$$ 5. Ahora la fracción compleja es: $$\frac{\frac{-x + 7}{(x-1)(x+2)}}{\frac{2x + 1}{(x-1)(x+2)}}$$ 6. Dividir fracciones es multiplicar por el recíproco, entonces: $$= \frac{-x + 7}{(x-1)(x+2)} \times \frac{(x-1)(x+2)}{2x + 1}$$ 7. Cancelamos el factor común $\cancel{(x-1)(x+2)}$: $$= \frac{-x + 7}{\cancel{(x-1)(x+2)}} \times \frac{\cancel{(x-1)(x+2)}}{2x + 1} = \frac{-x + 7}{2x + 1}$$ 8. Simplificamos la división por la fracción $\frac{x^2 - 4}{x^2 + x - 2}$, que es equivalente a multiplicar por su inversa: $$\left( \frac{-x + 7}{2x + 1} \right) \div \left( \frac{x^2 - 4}{x^2 + x - 2} \right) = \frac{-x + 7}{2x + 1} \times \frac{x^2 + x - 2}{x^2 - 4}$$ 9. Factorizamos los polinomios: $$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$$ $$x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$$ 10. Sustituimos en la expresión: $$= \frac{-x + 7}{2x + 1} \times \frac{(x + 2)(x - 1)}{(x - 2)(x + 2)}$$ 11. Cancelamos el factor común $\cancel{(x + 2)}$: $$= \frac{-x + 7}{2x + 1} \times \frac{\cancel{(x + 2)}(x - 1)}{(x - 2)\cancel{(x + 2)}} = \frac{(-x + 7)(x - 1)}{(2x + 1)(x - 2)}$$ 12. Expandimos el numerador: $$(-x + 7)(x - 1) = -x^2 + x + 7x - 7 = -x^2 + 8x - 7$$ 13. La expresión queda: $$\frac{-x^2 + 8x - 7}{(2x + 1)(x - 2)}$$ 14. Ahora sumamos la fracción restante: $$\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 1}$$ 15. Factorizamos: $$x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$$ $$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$$ 16. La fracción es: $$\frac{(x - 1)(x - 2)}{(x - 1)(x + 1)}$$ 17. Cancelamos $\cancel{(x - 1)}$: $$= \frac{x - 2}{x + 1}$$ 18. Sumamos las dos fracciones: $$\frac{-x^2 + 8x - 7}{(2x + 1)(x - 2)} + \frac{x - 2}{x + 1}$$ 19. Buscamos común denominador: $$\text{mcm} = (2x + 1)(x - 2)(x + 1)$$ 20. Reescribimos cada fracción con el común denominador: $$\frac{-x^2 + 8x - 7}{(2x + 1)(x - 2)} = \frac{(-x^2 + 8x - 7)(x + 1)}{(2x + 1)(x - 2)(x + 1)}$$ $$\frac{x - 2}{x + 1} = \frac{(x - 2)(2x + 1)(x - 2)}{(2x + 1)(x - 2)(x + 1)}$$ 21. Expandimos numeradores: Para el primero: $$(-x^2 + 8x - 7)(x + 1) = -x^3 - x^2 + 8x^2 + 8x - 7x - 7 = -x^3 + 7x^2 + x - 7$$ Para el segundo: $$(x - 2)(2x + 1)(x - 2) = (x - 2)^2 (2x + 1)$$ Primero $(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$ Luego: $$(x^2 - 4x + 4)(2x + 1) = 2x^3 + x^2 - 8x^2 - 4x + 8x + 4 = 2x^3 - 7x^2 + 4x + 4$$ 22. Sumamos los numeradores: $$(-x^3 + 7x^2 + x - 7) + (2x^3 - 7x^2 + 4x + 4) = (-x^3 + 2x^3) + (7x^2 - 7x^2) + (x + 4x) + (-7 + 4) = x^3 + 5x - 3$$ 23. La expresión final es: $$\frac{x^3 + 5x - 3}{(2x + 1)(x - 2)(x + 1)}$$ 24. No se puede factorizar más el numerador, por lo que esta es la forma simplificada completa. **Respuesta final:** $$\boxed{\frac{x^3 + 5x - 3}{(2x + 1)(x - 2)(x + 1)}}$$