1. Planteamos el problema: Simplificar y analizar la expresión $$t = (x-3)(x-5)(x+2)(x+4) - (x^2 - x - 13)^2 + 50$$. 2. Primero, expandimos los productos de dos binomios: $$(x-3)(x-5) = x^2 - 8x + 15$$ $$(x+2)(x+4) = x^2 + 6x + 8$$ 3. Multiplicamos los dos trinomios resultantes: $$ (x^2 - 8x + 15)(x^2 + 6x + 8) $$ 4. Expandimos usando distributiva: $$ x^2(x^2 + 6x + 8) - 8x(x^2 + 6x + 8) + 15(x^2 + 6x + 8) $$ $$ = x^4 + 6x^3 + 8x^2 - 8x^3 - 48x^2 - 64x + 15x^2 + 90x + 120 $$ 5. Simplificamos términos semejantes: $$ x^4 + (6x^3 - 8x^3) + (8x^2 - 48x^2 + 15x^2) + (-64x + 90x) + 120 $$ $$ = x^4 - 2x^3 - 25x^2 + 26x + 120 $$ 6. Ahora expandimos el cuadrado del trinomio: $$ (x^2 - x - 13)^2 = (x^2 - x - 13)(x^2 - x - 13) $$ 7. Expandimos: $$ x^2(x^2 - x - 13) - x(x^2 - x - 13) - 13(x^2 - x - 13) $$ $$ = x^4 - x^3 - 13x^2 - x^3 + x^2 + 13x - 13x^2 + 13x + 169 $$ 8. Simplificamos términos semejantes: $$ x^4 - 2x^3 - 25x^2 + 26x + 169 $$ 9. Sustituimos en la expresión original: $$ t = (x^4 - 2x^3 - 25x^2 + 26x + 120) - (x^4 - 2x^3 - 25x^2 + 26x + 169) + 50 $$ 10. Restamos los polinomios: $$ t = x^4 - 2x^3 - 25x^2 + 26x + 120 - x^4 + 2x^3 + 25x^2 - 26x - 169 + 50 $$ 11. Simplificamos cancelando términos: $$ t = \cancel{x^4} - \cancel{2x^3} - \cancel{25x^2} + \cancel{26x} + 120 - \cancel{x^4} + \cancel{2x^3} + \cancel{25x^2} - \cancel{26x} - 169 + 50 $$ $$ t = 120 - 169 + 50 $$ 12. Finalmente, calculamos la suma: $$ t = 1 $$ Respuesta final: $$t = 1$$