1. **Planteamiento del problema:** Simplificar completamente la expresión $$\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{x-1} - \frac{3}{x+2} \\\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+2}\end{array}\right] \div \left( \frac{x^2 - 4}{x^2 + x - 2} \right) + \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 1}$$ 2. **Recordemos algunas reglas importantes:** - Para sumar o restar fracciones, se necesita un denominador común. - Dividir por una fracción es multiplicar por su inversa. - Factorizar polinomios para simplificar. 3. **Simplificamos cada componente:** Para la primera fila del vector: $$\frac{2}{x-1} - \frac{3}{x+2} = \frac{2(x+2)}{(x-1)(x+2)} - \frac{3(x-1)}{(x+2)(x-1)} = \frac{2x+4 - 3x + 3}{(x-1)(x+2)} = \frac{-x + 7}{(x-1)(x+2)}$$ Para la segunda fila: $$\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+2} = \frac{x+2}{(x-1)(x+2)} + \frac{x-1}{(x+2)(x-1)} = \frac{x+2 + x -1}{(x-1)(x+2)} = \frac{2x + 1}{(x-1)(x+2)}$$ 4. **La matriz queda:** $$\left[\begin{array}{c}\frac{-x + 7}{(x-1)(x+2)} \\\frac{2x + 1}{(x-1)(x+2)}\end{array}\right]$$ 5. **Simplificamos la división:** El divisor es: $$\frac{x^2 - 4}{x^2 + x - 2}$$ Factorizamos numerador y denominador: $$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$$ $$x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1)$$ Por lo tanto: $$\frac{x^2 - 4}{x^2 + x - 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)(x-1)}$$ Cancelamos el factor común $(x+2)$: $$= \frac{\cancel{(x+2)}(x-2)}{\cancel{(x+2)}(x-1)} = \frac{x-2}{x-1}$$ 6. **Dividir por esta fracción es multiplicar por su inversa:** $$\left[\begin{array}{c}\frac{-x + 7}{(x-1)(x+2)} \\\frac{2x + 1}{(x-1)(x+2)}\end{array}\right] \times \frac{x-1}{x-2} = \left[\begin{array}{c}\frac{-x + 7}{(x-1)(x+2)} \times \frac{x-1}{x-2} \\\frac{2x + 1}{(x-1)(x+2)} \times \frac{x-1}{x-2}\end{array}\right]$$ Cancelamos $(x-1)$: $$= \left[\begin{array}{c}\frac{-x + 7}{\cancel{(x-1)}(x+2)} \times \frac{\cancel{(x-1)}}{x-2} \\\frac{2x + 1}{\cancel{(x-1)}(x+2)} \times \frac{\cancel{(x-1)}}{x-2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}\frac{-x + 7}{(x+2)(x-2)} \\\frac{2x + 1}{(x+2)(x-2)}\end{array}\right]$$ 7. **Simplificamos el último término:** $$\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 1}$$ Factorizamos numerador y denominador: $$x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$$ $$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$$ Por lo tanto: $$\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)}$$ Cancelamos $(x-1)$: $$= \frac{\cancel{(x-1)}(x-2)}{\cancel{(x-1)}(x+1)} = \frac{x-2}{x+1}$$ 8. **Sumamos la matriz con el último término:** $$\left[\begin{array}{c}\frac{-x + 7}{(x+2)(x-2)} \\\frac{2x + 1}{(x+2)(x-2)}\end{array}\right] + \frac{x-2}{x+1}$$ Como el último término es un escalar, la suma se interpreta como: $$\left[\begin{array}{c}\frac{-x + 7}{(x+2)(x-2)} + \frac{x-2}{x+1} \\\frac{2x + 1}{(x+2)(x-2)} + \frac{x-2}{x+1}\end{array}\right]$$ 9. **Sumamos cada componente con denominadores diferentes:** Para el primer componente: Denominadores: $(x+2)(x-2)$ y $(x+1)$ MCM: $(x+2)(x-2)(x+1)$ $$\frac{-x + 7}{(x+2)(x-2)} = \frac{(-x + 7)(x+1)}{(x+2)(x-2)(x+1)}$$ $$\frac{x-2}{x+1} = \frac{(x-2)(x+2)(x-2)}{(x+1)(x+2)(x-2)} = \frac{(x-2)(x+2)(x-2)}{(x+2)(x-2)(x+1)}$$ Pero notemos que $(x-2)(x-2) = (x-2)^2$, así que: $$\frac{x-2}{x+1} = \frac{(x-2)^2 (x+2)}{(x+2)(x-2)(x+1)}$$ Sumamos: $$\frac{(-x + 7)(x+1) + (x-2)^2 (x+2)}{(x+2)(x-2)(x+1)}$$ Expandimos numeradores: $$(-x + 7)(x+1) = -x^2 - x + 7x + 7 = -x^2 + 6x + 7$$ $$(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$$ Multiplicamos por $(x+2)$: $$(x^2 - 4x + 4)(x+2) = x^3 + 2x^2 - 4x^2 - 8x + 4x + 8 = x^3 - 2x^2 - 4x + 8$$ Sumamos numeradores: $$-x^2 + 6x + 7 + x^3 - 2x^2 - 4x + 8 = x^3 - 3x^2 + 2x + 15$$ Por lo tanto, primer componente: $$\frac{x^3 - 3x^2 + 2x + 15}{(x+2)(x-2)(x+1)}$$ 10. **Para el segundo componente:** Igual procedimiento: $$\frac{2x + 1}{(x+2)(x-2)} + \frac{x-2}{x+1} = \frac{(2x + 1)(x+1) + (x-2)^2 (x+2)}{(x+2)(x-2)(x+1)}$$ Expandimos: $$(2x + 1)(x+1) = 2x^2 + 2x + x + 1 = 2x^2 + 3x + 1$$ Ya tenemos: $$(x-2)^2 (x+2) = x^3 - 2x^2 - 4x + 8$$ Sumamos numeradores: $$2x^2 + 3x + 1 + x^3 - 2x^2 - 4x + 8 = x^3 - x + 9$$ Por lo tanto, segundo componente: $$\frac{x^3 - x + 9}{(x+2)(x-2)(x+1)}$$ 11. **Respuesta final:** $$\boxed{\left[\begin{array}{c}\frac{x^3 - 3x^2 + 2x + 15}{(x+2)(x-2)(x+1)} \\\frac{x^3 - x + 9}{(x+2)(x-2)(x+1)}\end{array}\right]}$$