1. Planteamiento del problema: Simplificar completamente la expresión dada. 2. Recordemos algunas reglas importantes: - Para sumar o restar fracciones, se necesita un denominador común. - Dividir por una fracción es multiplicar por su inversa. - Factorizar polinomios para simplificar. 3. Simplificamos cada componente del vector: Para la primera fila: $$\frac{2}{x-1} - \frac{3}{x+2} = \frac{2(x+2)}{(x-1)(x+2)} - \frac{3(x-1)}{(x-1)(x+2)} = \frac{2x+4 - 3x + 3}{(x-1)(x+2)} = \frac{-x + 7}{(x-1)(x+2)}$$ Para la segunda fila: $$\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+2} = \frac{x+2}{(x-1)(x+2)} + \frac{x-1}{(x-1)(x+2)} = \frac{x+2 + x -1}{(x-1)(x+2)} = \frac{2x + 1}{(x-1)(x+2)}$$ 4. La matriz queda: $$\left[ \begin{array}{c} \frac{-x + 7}{(x-1)(x+2)} \\ \frac{2x + 1}{(x-1)(x+2)} \end{array} \right]$$ 5. Simplificamos la división: El divisor es $$\frac{x^2 - 4}{x^2 + x - 2}$$ Factorizamos: $$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$$ $$x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1)$$ Por lo tanto: $$\frac{x^2 - 4}{x^2 + x - 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)(x-1)}$$ Cancelamos $$ (x+2) $$: $$= \frac{x-2}{x-1}$$ 6. Dividir por esta fracción es multiplicar por su inversa: $$\left[ \begin{array}{c} \frac{-x + 7}{(x-1)(x+2)} \\ \frac{2x + 1}{(x-1)(x+2)} \end{array} \right] \times \frac{x-1}{x-2} = \left[ \begin{array}{c} \frac{-x + 7}{(x-1)(x+2)} \times \frac{x-1}{x-2} \\ \frac{2x + 1}{(x-1)(x+2)} \times \frac{x-1}{x-2} \end{array} \right]$$ Cancelamos $$ (x-1) $$: $$= \left[ \begin{array}{c} \frac{-x + 7}{x+2} \times \frac{1}{x-2} \\ \frac{2x + 1}{x+2} \times \frac{1}{x-2} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} \frac{-x + 7}{(x+2)(x-2)} \\ \frac{2x + 1}{(x+2)(x-2)} \end{array} \right]$$ 7. Simplificamos el último término: $$\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 1}$$ Factorizamos: $$x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$$ $$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$$ Cancelamos $$ (x-1) $$: $$= \frac{x-2}{x+1}$$ 8. Sumamos la matriz con el último término (escalar): $$\left[ \begin{array}{c} \frac{-x + 7}{(x+2)(x-2)} \\ \frac{2x + 1}{(x+2)(x-2)} \end{array} \right] + \frac{x-2}{x+1} = \left[ \begin{array}{c} \frac{-x + 7}{(x+2)(x-2)} + \frac{x-2}{x+1} \\ \frac{2x + 1}{(x+2)(x-2)} + \frac{x-2}{x+1} \end{array} \right]$$ 9. Sumamos cada componente con denominadores diferentes: Para el primer componente: MCM: $$ (x+2)(x-2)(x+1) $$ Sumamos: $$\frac{(-x + 7)(x+1)}{(x+2)(x-2)(x+1)} + \frac{(x-2)(x+2)(x-2)}{(x+2)(x-2)(x+1)}$$ Expandimos numeradores: $$(-x + 7)(x+1) = -x^2 + 6x + 7$$ $$(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$$ Multiplicamos por $$ (x+2) $$: $$ (x^2 - 4x + 4)(x+2) = x^3 - 2x^2 - 4x + 8 $$ Sumamos numeradores: $$ -x^2 + 6x + 7 + x^3 - 2x^2 - 4x + 8 = x^3 - 3x^2 + 2x + 15 $$ Primer componente final: $$\frac{x^3 - 3x^2 + 2x + 15}{(x+2)(x-2)(x+1)}$$ 10. Para el segundo componente: Mismo MCM: $$ (x+2)(x-2)(x+1) $$ Sumamos: $$\frac{(2x + 1)(x+1)}{(x+2)(x-2)(x+1)} + \frac{(x-2)(x+2)(x-2)}{(x+2)(x-2)(x+1)}$$ Expandimos: $$(2x + 1)(x+1) = 2x^2 + 3x + 1$$ Sumamos numeradores: $$2x^2 + 3x + 1 + x^3 - 2x^2 - 4x + 8 = x^3 - x + 9$$ Segundo componente final: $$\frac{x^3 - x + 9}{(x+2)(x-2)(x+1)}$$ 11. Respuesta final: $$\left[ \begin{array}{c} \frac{x^3 - 3x^2 + 2x + 15}{(x+2)(x-2)(x+1)} \\ \frac{x^3 - x + 9}{(x+2)(x-2)(x+1)} \end{array} \right]$$