1. Planteamos el problema: Simplificar la expresión $$\frac{2x - 6}{1} + \frac{x^2 + 4x + 3}{x^2 + 2x - 15} + \frac{1}{x + 5}$$. 2. Factorizamos los polinomios donde sea posible para simplificar: $$2x - 6 = 2(x - 3)$$ $$x^2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1)$$ $$x^2 + 2x - 15 = (x + 5)(x - 3)$$ 3. Reescribimos la expresión con factores: $$2(x - 3) + \frac{(x + 3)(x + 1)}{(x + 5)(x - 3)} + \frac{1}{x + 5}$$ 4. Para sumar las fracciones, buscamos un común denominador, que es $$ (x + 5)(x - 3) $$. 5. Convertimos cada término a fracción con denominador común: $$\frac{2(x - 3)(x + 5)(x - 3)}{(x + 5)(x - 3)} + \frac{(x + 3)(x + 1)}{(x + 5)(x - 3)} + \frac{1(x - 3)}{(x + 5)(x - 3)}$$ Pero el primer término es un entero, así que lo expresamos como: $$\frac{2(x - 3)(x + 5)(x - 3)}{(x + 5)(x - 3)} = \frac{2(x - 3)(x + 5)(x - 3)}{(x + 5)(x - 3)}$$ Simplificamos cancelando un factor $$ (x - 3) $$: $$\frac{2\cancel{(x - 3)}(x + 5)\cancel{(x - 3)}}{(x + 5)(x - 3)} = \frac{2(x - 3)(x + 5)}{(x + 5)(x - 3)}$$ Cancelamos $$ (x + 5) $$ y $$ (x - 3) $$: $$\frac{2\cancel{(x - 3)}\cancel{(x + 5)}}{\cancel{(x + 5)}\cancel{(x - 3)}} = 2$$ 6. Ahora sumamos las fracciones restantes: $$\frac{(x + 3)(x + 1)}{(x + 5)(x - 3)} + \frac{1(x - 3)}{(x + 5)(x - 3)} = \frac{(x + 3)(x + 1) + (x - 3)}{(x + 5)(x - 3)}$$ 7. Expandimos el numerador: $$(x + 3)(x + 1) = x^2 + x + 3x + 3 = x^2 + 4x + 3$$ Sumamos $$ (x - 3) $$: $$x^2 + 4x + 3 + x - 3 = x^2 + 5x$$ 8. La expresión completa es: $$2 + \frac{x^2 + 5x}{(x + 5)(x - 3)}$$ 9. Factorizamos el numerador $$x^2 + 5x = x(x + 5)$$: $$2 + \frac{x(x + 5)}{(x + 5)(x - 3)}$$ Cancelamos $$ (x + 5) $$: $$2 + \frac{x\cancel{(x + 5)}}{\cancel{(x + 5)}(x - 3)} = 2 + \frac{x}{x - 3}$$ 10. Sumamos los términos con denominador común $$x - 3$$: $$2 = \frac{2(x - 3)}{x - 3} = \frac{2x - 6}{x - 3}$$ Entonces: $$\frac{2x - 6}{x - 3} + \frac{x}{x - 3} = \frac{2x - 6 + x}{x - 3} = \frac{3x - 6}{x - 3}$$ 11. Simplificamos el numerador: $$3x - 6 = 3(x - 2)$$ Por lo tanto: $$\frac{3(x - 2)}{x - 3}$$ Esta es la forma más compacta de la expresión original. **Respuesta final:** $$\boxed{\frac{3(x - 2)}{x - 3}}$$