1. Planteamos el problema: Simplificar la expresión $$\left(\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 5x + 6} + \frac{3x}{x^{2} - 9}\right) \div \left(\frac{x}{x-3} - \frac{2}{x+3}\right) \cdot \left(\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 4}\right)$$ 2. Factorizamos todos los polinomios para simplificar: - $x^{2} - 4 = (x-2)(x+2)$ - $x^{2} - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$ - $x^{2} - 9 = (x-3)(x+3)$ 3. Reescribimos la expresión con factores: $$\left(\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-3)} + \frac{3x}{(x-3)(x+3)}\right) \div \left(\frac{x}{x-3} - \frac{2}{x+3}\right) \cdot \left(\frac{(x-3)(x+3)}{(x-2)(x+2)}\right)$$ 4. Simplificamos las fracciones dentro del primer paréntesis: $$\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-3)} = \frac{\cancel{(x-2)}(x+2)}{\cancel{(x-2)}(x-3)} = \frac{x+2}{x-3}$$ 5. Sumamos las fracciones del primer paréntesis con común denominador $(x-3)(x+3)$: $$\frac{x+2}{x-3} = \frac{(x+2)(x+3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{x^{2} + 5x + 6}{(x-3)(x+3)}$$ Entonces: $$\frac{x^{2} + 5x + 6}{(x-3)(x+3)} + \frac{3x}{(x-3)(x+3)} = \frac{x^{2} + 5x + 6 + 3x}{(x-3)(x+3)} = \frac{x^{2} + 8x + 6}{(x-3)(x+3)}$$ 6. Simplificamos el segundo paréntesis: $$\frac{x}{x-3} - \frac{2}{x+3} = \frac{x(x+3)}{(x-3)(x+3)} - \frac{2(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{x^{2} + 3x - 2x + 6}{(x-3)(x+3)} = \frac{x^{2} + x + 6}{(x-3)(x+3)}$$ 7. Ahora la expresión es: $$\frac{\frac{x^{2} + 8x + 6}{(x-3)(x+3)}}{\frac{x^{2} + x + 6}{(x-3)(x+3)}} \cdot \frac{(x-3)(x+3)}{(x-2)(x+2)}$$ 8. Dividir fracciones es multiplicar por el recíproco: $$\frac{x^{2} + 8x + 6}{(x-3)(x+3)} \cdot \frac{(x-3)(x+3)}{x^{2} + x + 6} \cdot \frac{(x-3)(x+3)}{(x-2)(x+2)}$$ 9. Cancelamos factores comunes: - $(x-3)(x+3)$ en numerador y denominador en la primera multiplicación Queda: $$\frac{x^{2} + 8x + 6}{1} \cdot \frac{1}{x^{2} + x + 6} \cdot \frac{(x-3)(x+3)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x^{2} + 8x + 6}{x^{2} + x + 6} \cdot \frac{(x-3)(x+3)}{(x-2)(x+2)}$$ 10. Factorizamos $x^{2} + 8x + 6$ y $x^{2} + x + 6$ si es posible: - $x^{2} + 8x + 6$ no tiene factores enteros simples (discriminante $64 - 24 = 40$ no es cuadrado perfecto) - $x^{2} + x + 6$ tampoco (discriminante $1 - 24 = -23 < 0$) 11. Por lo tanto, la expresión simplificada final es: $$\frac{x^{2} + 8x + 6}{x^{2} + x + 6} \cdot \frac{(x-3)(x+3)}{(x-2)(x+2)}$$ 12. Expresado en forma factorizada: $$\frac{x^{2} + 8x + 6}{x^{2} + x + 6} \cdot \frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 4}$$ Este es el resultado más simple sin raíces o números complejos. **Respuesta final:** $$\frac{x^{2} + 8x + 6}{x^{2} + x + 6} \cdot \frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 4}$$