1. **Énoncé du problème :** Simplifier les expressions suivantes impliquant des exponentielles et des logarithmes naturels. 2. **Rappel de la formule importante :** Pour tout $x > 0$, $e^{\ln(x)} = x$ car l'exponentielle et le logarithme naturel sont des fonctions inverses. 3. **a) Simplification de $e^{\ln(3)} + e^{-\ln(5)}$ :** - On utilise $e^{\ln(3)} = 3$. - Pour $e^{-\ln(5)}$, on écrit $e^{-\ln(5)} = \frac{1}{e^{\ln(5)}} = \frac{1}{5}$. - Donc, $e^{\ln(3)} + e^{-\ln(5)} = 3 + \frac{1}{5} = \frac{15}{5} + \frac{1}{5} = \frac{16}{5}$. 4. **b) Simplification de $\frac{e^{\ln(8)}}{e^{3 \ln(2)}}$ :** - $e^{\ln(8)} = 8$. - $e^{3 \ln(2)} = e^{\ln(2^3)} = 2^3 = 8$. - Donc, $\frac{e^{\ln(8)}}{e^{3 \ln(2)}} = \frac{8}{8} = 1$. 5. **c) Simplification de $\frac{e^{1 + \ln(2)}}{e^{1 + \ln(3)}}$ :** - On peut écrire $e^{1 + \ln(2)} = e^1 \times e^{\ln(2)} = e \times 2 = 2e$. - De même, $e^{1 + \ln(3)} = e \times 3 = 3e$. - Donc, $\frac{e^{1 + \ln(2)}}{e^{1 + \ln(3)}} = \frac{2e}{3e} = \frac{2}{3}$. **Réponses finales :** - a) $\frac{16}{5}$ - b) $1$ - c) $\frac{2}{3}$