1. **Énoncé du problème :** Simplifier l'expression suivante : $$\frac{8 \times (7 \times 5)^5 \times 5^2 \times 7^{-1}}{(7 \times 5^5 \times 7^{-2})^2}$$ 2. **Formule et règles importantes :** - Pour simplifier des puissances, on utilise la règle $a^m \times a^n = a^{m+n}$. - Pour une puissance d'un produit, $(ab)^n = a^n b^n$. - Pour une puissance d'une puissance, $(a^m)^n = a^{m \times n}$. - Pour diviser des puissances de même base, $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. 3. **Travail intermédiaire :** - Développons le numérateur : $$8 \times (7 \times 5)^5 \times 5^2 \times 7^{-1} = 8 \times 7^5 \times 5^5 \times 5^2 \times 7^{-1}$$ - En regroupant les puissances de 7 et 5 : $$8 \times 7^{5 + (-1)} \times 5^{5 + 2} = 8 \times 7^4 \times 5^7$$ - Développons le dénominateur : $$(7 \times 5^5 \times 7^{-2})^2 = (7^{1} \times 5^5 \times 7^{-2})^2 = (7^{1 - 2} \times 5^5)^2 = (7^{-1} \times 5^5)^2$$ - Appliquons la puissance : $$7^{-1 \times 2} \times 5^{5 \times 2} = 7^{-2} \times 5^{10}$$ 4. **Expression simplifiée :** $$\frac{8 \times 7^4 \times 5^7}{7^{-2} \times 5^{10}}$$ 5. **Simplification des puissances :** $$= 8 \times 7^{4 - (-2)} \times 5^{7 - 10} = 8 \times 7^{6} \times 5^{-3}$$ 6. **Réécriture finale :** $$= 8 \times 7^{6} \times \frac{1}{5^{3}} = \frac{8 \times 7^{6}}{5^{3}}$$ **Réponse finale :** $$\boxed{\frac{8 \times 7^{6}}{5^{3}}}$$