1. **Énoncé du problème :** Calculer et simplifier l'expression $$ (e^x - e^{-x})^2 - e^{-2x} (e^{4x} + e^0) $$. 2. **Formule et règles importantes :** - Rappel : $$ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $$. - Propriétés des exponentielles : $$ e^a \times e^b = e^{a+b} $$ et $$ e^0 = 1 $$. 3. **Développement du premier terme :** $$ (e^x - e^{-x})^2 = (e^x)^2 - 2 e^x e^{-x} + (e^{-x})^2 = e^{2x} - 2 e^{x - x} + e^{-2x} = e^{2x} - 2 e^0 + e^{-2x} = e^{2x} - 2 + e^{-2x} $$ 4. **Développement du second terme :** $$ e^{-2x} (e^{4x} + e^0) = e^{-2x} e^{4x} + e^{-2x} e^0 = e^{(-2x + 4x)} + e^{-2x} = e^{2x} + e^{-2x} $$ 5. **Substitution dans l'expression initiale :** $$ (e^{2x} - 2 + e^{-2x}) - (e^{2x} + e^{-2x}) $$ 6. **Simplification :** $$ e^{2x} - 2 + e^{-2x} - e^{2x} - e^{-2x} = \cancel{e^{2x}} - 2 + \cancel{e^{-2x}} - \cancel{e^{2x}} - \cancel{e^{-2x}} = -2 $$ **Réponse finale :** $$ -2 $$