1. Énonçons le problème : Simplifier l'expression $$\left( \frac{2a^{2}b^{2}}{3a^{-1}b^{2}}\right)^{-3} \left(\frac{3ab^{3}}{2a^{2}b}\right)^{-2}$$ en utilisant les lois des exposants. 2. Simplifions chaque fraction à l'intérieur des parenthèses avant d'appliquer les puissances. Pour la première fraction : $$\frac{2a^{2}b^{2}}{3a^{-1}b^{2}} = \frac{2}{3} \times \frac{a^{2}}{a^{-1}} \times \frac{b^{2}}{b^{2}}$$ 3. Appliquons les lois des exposants : $$\frac{a^{2}}{a^{-1}} = a^{2 - (-1)} = a^{3}$$ $$\frac{b^{2}}{b^{2}} = b^{2 - 2} = b^{0} = 1$$ Donc la première fraction devient : $$\frac{2}{3} a^{3}$$ 4. Pour la deuxième fraction : $$\frac{3ab^{3}}{2a^{2}b} = \frac{3}{2} \times \frac{a^{1}}{a^{2}} \times \frac{b^{3}}{b^{1}}$$ 5. Appliquons les lois des exposants : $$\frac{a^{1}}{a^{2}} = a^{1 - 2} = a^{-1}$$ $$\frac{b^{3}}{b^{1}} = b^{3 - 1} = b^{2}$$ Donc la deuxième fraction devient : $$\frac{3}{2} a^{-1} b^{2}$$ 6. Maintenant, appliquons les puissances extérieures : Pour la première partie : $$\left( \frac{2}{3} a^{3} \right)^{-3} = \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} \times \left( a^{3} \right)^{-3} = \left( \frac{3}{2} \right)^{3} \times a^{-9} = \frac{27}{8} a^{-9}$$ Pour la deuxième partie : $$\left( \frac{3}{2} a^{-1} b^{2} \right)^{-2} = \left( \frac{3}{2} \right)^{-2} \times \left( a^{-1} \right)^{-2} \times \left( b^{2} \right)^{-2} = \left( \frac{2}{3} \right)^{2} \times a^{2} \times b^{-4} = \frac{4}{9} a^{2} b^{-4}$$ 7. Multiplions les deux résultats : $$\frac{27}{8} a^{-9} \times \frac{4}{9} a^{2} b^{-4} = \frac{27 \times 4}{8 \times 9} a^{-9 + 2} b^{-4} = \frac{108}{72} a^{-7} b^{-4}$$ 8. Simplifions la fraction : $$\frac{108}{72} = \frac{3}{2}$$ 9. Résultat final : $$\frac{3}{2} a^{-7} b^{-4} = \frac{3}{2} \times \frac{1}{a^{7}} \times \frac{1}{b^{4}} = \frac{3}{2 a^{7} b^{4}}$$ Donc, l'expression simplifiée est $$\boxed{\frac{3}{2 a^{7} b^{4}}}$$.