1. **Énoncé du problème :** Simplifier l'expression $A = \ln(e^3) + 2 \ln(3e) + \ln\left(\frac{1}{9}\right)$. 2. **Formules et règles importantes :** - $\ln(a^b) = b \ln(a)$ - $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ - $\ln\left(\frac{1}{a}\right) = -\ln(a)$ 3. **Travail intermédiaire :** - $\ln(e^3) = 3 \ln(e) = 3$ car $\ln(e) = 1$ - $2 \ln(3e) = 2 (\ln(3) + \ln(e)) = 2 (\ln(3) + 1) = 2 \ln(3) + 2$ - $\ln\left(\frac{1}{9}\right) = -\ln(9) = -\ln(3^2) = -2 \ln(3)$ 4. **Simplification :** $$A = 3 + 2 \ln(3) + 2 - 2 \ln(3) = (3 + 2) + (2 \ln(3) - 2 \ln(3)) = 5 + 0 = 5$$ **Réponse finale :** $A = 5$