1) Rendre le dénominateur entier naturel : A = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{\sqrt{7} + \sqrt{3}} Multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur : = \frac{(\sqrt{7} - \sqrt{3})(\sqrt{7} - \sqrt{3})}{(\sqrt{7} + \sqrt{3})(\sqrt{7} - \sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{7})^2 - 2\sqrt{7}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2}{7 - 3} = \frac{7 - 2\sqrt{21} + 3}{4} = \frac{10 - 2\sqrt{21}}{4} = \frac{5 - \sqrt{21}}{2} B = \frac{2 + 3\sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} - \frac{3 + 2\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} Multiplier chaque fraction par le conjugué de son dénominateur : Première fraction : \frac{2 + 3\sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} \times \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} = \frac{(2 + 3\sqrt{2})(2 + \sqrt{2})}{4 - 2} = \frac{4 + 2\sqrt{2} + 6\sqrt{2} + 3 \times 2}{2} = \frac{4 + 8\sqrt{2} + 6}{2} = \frac{10 + 8\sqrt{2}}{2} = 5 + 4\sqrt{2} Deuxième fraction : \frac{3 + 2\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} \times \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{(3 + 2\sqrt{2})(\sqrt{2} + 1)}{2 - 1} = (3 + 2\sqrt{2})(\sqrt{2} + 1) = 3\sqrt{2} + 3 + 2 \times 2 + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2} + 3 + 4 + 2\sqrt{2} = 7 + 5\sqrt{2} Donc B = (5 + 4\sqrt{2}) - (7 + 5\sqrt{2}) = (5 - 7) + (4\sqrt{2} - 5\sqrt{2}) = -2 - \sqrt{2} C = 3(\sqrt{2} + \sqrt{3}) + \frac{1}{\sqrt{6} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{3}} \right)} Calculons le dénominateur de la fraction : \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{6}} Donc \sqrt{6} \times \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \sqrt{3} - \sqrt{2} Ainsi la fraction devient : \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} Multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué : = \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} + \sqrt{2} Donc C = 3(\sqrt{2} + \sqrt{3}) + \sqrt{3} + \sqrt{2} = 3\sqrt{2} + 3\sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{2} = (3\sqrt{2} + \sqrt{2}) + (3\sqrt{3} + \sqrt{3}) = 4\sqrt{2} + 4\sqrt{3} 2) Simplifier les expressions : A = \frac{8^2 \times 5^3 \times 7^{-2} \times 63}{5^4 \times 7^3 \times 2^8 \times 9} Remarquer que 63 = 7^2 \times 9 Donc A = \frac{8^2 \times 5^3 \times 7^{-2} \times 7^2 \times 9}{5^4 \times 7^3 \times 2^8 \times 9} = \frac{8^2 \times 5^3 \times 9}{5^4 \times 7^3 \times 2^8 \times 9} Simplifions 9 au numérateur et dénominateur : ils s'annulent. A = \frac{8^2 \times 5^3}{5^4 \times 7^3 \times 2^8} 8 = 2^3 donc 8^2 = 2^{6} A = \frac{2^{6} \times 5^{3}}{5^{4} \times 7^{3} \times 2^{8}} = \frac{2^{6}}{2^{8}} \times \frac{5^{3}}{5^{4}} \times \frac{1}{7^{3}} = 2^{6-8} \times 5^{3-4} \times 7^{-3} = 2^{-2} \times 5^{-1} \times 7^{-3} = \frac{1}{2^{2} \times 5 \times 7^{3}} = \frac{1}{4 \times 5 \times 343} = \frac{1}{6860} B = \frac{(3^{7} \times 2^{6} \times 9^{1})^{2}}{(9^{-2} \times 3^{2} \times 2^{-1})^{3}} Calculons numérateur : = 3^{14} \times 2^{12} \times 9^{2} 9 = 3^{2} donc 9^{2} = 3^{4} Numérateur = 3^{14} \times 2^{12} \times 3^{4} = 3^{18} \times 2^{12} Dénominateur : = 9^{-6} \times 3^{6} \times 2^{-3} 9^{-6} = (3^{2})^{-6} = 3^{-12} Dénominateur = 3^{-12} \times 3^{6} \times 2^{-3} = 3^{-6} \times 2^{-3} Donc B = \frac{3^{18} \times 2^{12}}{3^{-6} \times 2^{-3}} = 3^{18 - (-6)} \times 2^{12 - (-3)} = 3^{24} \times 2^{15} 3) Écriture scientifique : A = 4.5 \times 10^{5} \times 6.4 \times 10^{4} = (4.5 \times 6.4) \times 10^{5 + 4} = 28.8 \times 10^{9} = 2.88 \times 10^{10} B = \frac{4.8 \times 10^{-13} \times 9 \times 10^{4}}{1.2 \times 10^{-7}} = \frac{4.8 \times 9}{1.2} \times 10^{-13 + 4 + 7} = \frac{43.2}{1.2} \times 10^{-2} = 36 \times 10^{-2} = 3.6 \times 10^{-1} Réponses finales : 1) A = \frac{5 - \sqrt{21}}{2}, B = -2 - \sqrt{2}, C = 4\sqrt{2} + 4\sqrt{3} 2) A = \frac{1}{6860}, B = 3^{24} \times 2^{15} 3) A = 2.88 \times 10^{10}, B = 3.6 \times 10^{-1}