1. Énoncé du problème : Simplifier et effectuer les calculs avec des racines carrées et cubiques. 2. Rappel des règles importantes : - $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$ - $\sqrt{a^2} = a$ si $a \geq 0$ - $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ ne se simplifie pas sauf si $a = b$ - $\sqrt{a^3} = a \sqrt{a}$ - $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$ 3. Simplification de l'expression $a / a^2 \times ba \sqrt{a} \times 57 \times 5 / a^2 \times \sqrt{a} \times \sqrt{a} \times \sqrt{a}$ (interprétation libre car expression peu claire) : - Supposons que l'expression soit $\frac{a}{a^2} \times ba \sqrt{a} \times 57 \times \frac{5}{a^2} \times \sqrt{a} \times \sqrt{a} \times \sqrt{a}$ - Simplifions les fractions : $$\frac{a}{a^2} = \frac{\cancel{a}^1}{\cancel{a}^2} = \frac{1}{a}$$ $$\frac{5}{a^2} = \frac{5}{a^2}$$ - Regroupons les racines : $\sqrt{a} \times \sqrt{a} \times \sqrt{a} = \sqrt{a^3} = a \sqrt{a}$ - L'expression devient : $$\frac{1}{a} \times ba \sqrt{a} \times 57 \times \frac{5}{a^2} \times a \sqrt{a}$$ - Simplifions $\frac{1}{a} \times a = 1$ - L'expression est maintenant : $$ba \sqrt{a} \times 57 \times \frac{5}{a^2} \times \sqrt{a}$$ - Regroupons les racines : $\sqrt{a} \times \sqrt{a} = \sqrt{a^2} = a$ - L'expression devient : $$ba \times 57 \times \frac{5}{a^2} \times a = ba \times 57 \times 5 \times \frac{a}{a^2} = ba \times 285 \times \frac{1}{a} = b \times 285$$ 4. Calculs demandés : a) $\sqrt{507} \cdot 2 \sqrt{81} + 8 \sqrt{3} - 7 \sqrt{27}$ - $\sqrt{81} = 9$ - $2 \sqrt{81} = 2 \times 9 = 18$ - $\sqrt{507}$ reste sous forme exacte - $8 \sqrt{3}$ reste - $\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3 \sqrt{3}$ - $7 \sqrt{27} = 7 \times 3 \sqrt{3} = 21 \sqrt{3}$ - L'expression devient : $$\sqrt{507} \times 18 + 8 \sqrt{3} - 21 \sqrt{3} = 18 \sqrt{507} - 13 \sqrt{3}$$ b) $\sqrt{561} + \sqrt{189} + \sqrt[3]{448}$ - $\sqrt{561}$ reste - $\sqrt{189} = \sqrt{9 \times 21} = 3 \sqrt{21}$ - $\sqrt[3]{448} = \sqrt[3]{64 \times 7} = 4 \sqrt[3]{7}$ - L'expression finale est : $$\sqrt{561} + 3 \sqrt{21} + 4 \sqrt[3]{7}$$ Réponses finales : - 1) $b \times 285$ - 2a) $18 \sqrt{507} - 13 \sqrt{3}$ - 2b) $\sqrt{561} + 3 \sqrt{21} + 4 \sqrt[3]{7}$