1. **Énoncé du problème :** Mettre sous le radical et simplifier l'expression suivante (avec $a,b,c$ positifs) : $$a^2 b^u \sqrt{a^5 b t} b^{1/2} \sqrt{a} \sqrt{a^a} \sqrt{a^u}$$ 2. **Formule et règles importantes :** - Rappel : $\sqrt{x} = x^{1/2}$ - Produit sous un radical : $\sqrt{x} \times \sqrt{y} = \sqrt{xy}$ - Puissance d'une puissance : $(x^m)^n = x^{mn}$ - Pour multiplier des puissances de même base, on additionne les exposants : $x^m \times x^n = x^{m+n}$ 3. **Travail intermédiaire :** On réécrit chaque terme avec des puissances : - $a^2$ reste $a^2$ - $b^u$ reste $b^u$ - $\sqrt{a^5 b t} = (a^5 b t)^{1/2} = a^{5/2} b^{1/2} t^{1/2}$ - $b^{1/2}$ reste $b^{1/2}$ - $\sqrt{a} = a^{1/2}$ - $\sqrt{a^a} = (a^a)^{1/2} = a^{a/2}$ - $\sqrt{a^u} = (a^u)^{1/2} = a^{u/2}$ 4. **Multiplication de tous les termes :** $$a^2 \times b^u \times a^{5/2} b^{1/2} t^{1/2} \times b^{1/2} \times a^{1/2} \times a^{a/2} \times a^{u/2}$$ 5. **Regroupement des bases :** - Pour $a$ : $$a^{2 + \frac{5}{2} + \frac{1}{2} + \frac{a}{2} + \frac{u}{2}} = a^{2 + 3 + \frac{a}{2} + \frac{u}{2}} = a^{5 + \frac{a}{2} + \frac{u}{2}}$$ - Pour $b$ : $$b^{u + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = b^{u + 1}$$ - Pour $t$ : $$t^{1/2}$$ 6. **Expression simplifiée finale :** $$\boxed{a^{5 + \frac{a}{2} + \frac{u}{2}} b^{u + 1} t^{1/2}}$$