1. **Énoncé du problème :** Calculer et simplifier l'expression $$\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} - \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}.$$\n\n2. **Formule et règles importantes :** Pour simplifier des expressions avec des racines au dénominateur, on utilise la conjugaison : multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur pour rationaliser.\n\n3. **Calcul du premier terme :**\n$$\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{2})^2}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{5 - 2\sqrt{10} + 2}{5 - 2} = \frac{7 - 2\sqrt{10}}{3}.$$\n\n4. **Calcul du deuxième terme :**\n$$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2}{5 - 2} = \frac{5 + 2\sqrt{10} + 2}{3} = \frac{7 + 2\sqrt{10}}{3}.$$\n\n5. **Soustraction des deux termes :**\n$$\frac{7 - 2\sqrt{10}}{3} - \frac{7 + 2\sqrt{10}}{3} = \frac{(7 - 2\sqrt{10}) - (7 + 2\sqrt{10})}{3} = \frac{7 - 2\sqrt{10} - 7 - 2\sqrt{10}}{3} = \frac{-4\sqrt{10}}{3}.$$\n\n6. **Réponse finale :**\n$$\boxed{-\frac{4\sqrt{10}}{3}}.$$