1. Énoncé du problème : Simplifier le nombre $$\frac{\sqrt[3]{2} \times \sqrt{6} \times \sqrt[5]{\sqrt[3]{8}}}{\sqrt[3]{4}}$$. 2. Rappel des règles : - $$\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$$ - Produit de puissances de même base : $$a^m \times a^n = a^{m+n}$$ - Puissance d'une puissance : $$(a^m)^n = a^{m \times n}$$ 3. Réécriture en puissances : - $$\sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{3}}$$ - $$\sqrt{6} = 6^{\frac{1}{2}}$$ - $$\sqrt[3]{8} = 8^{\frac{1}{3}} = (2^3)^{\frac{1}{3}} = 2$$ - $$\sqrt[5]{\sqrt[3]{8}} = \sqrt[5]{2} = 2^{\frac{1}{5}}$$ - $$\sqrt[3]{4} = 4^{\frac{1}{3}} = (2^2)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$$ 4. Calcul du numérateur : $$2^{\frac{1}{3}} \times 6^{\frac{1}{2}} \times 2^{\frac{1}{5}} = 2^{\frac{1}{3}} \times (2 \times 3)^{\frac{1}{2}} \times 2^{\frac{1}{5}} = 2^{\frac{1}{3}} \times 2^{\frac{1}{2}} \times 3^{\frac{1}{2}} \times 2^{\frac{1}{5}}$$ 5. Regroupement des puissances de 2 : $$2^{\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{5}} \times 3^{\frac{1}{2}}$$ Calculons la somme des exposants de 2 : $$\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{10}{30} + \frac{15}{30} + \frac{6}{30} = \frac{31}{30}$$ 6. Le numérateur devient : $$2^{\frac{31}{30}} \times 3^{\frac{1}{2}}$$ 7. Le dénominateur est : $$2^{\frac{2}{3}}$$ 8. Division des puissances de 2 : $$\frac{2^{\frac{31}{30}}}{2^{\frac{2}{3}}} = 2^{\frac{31}{30} - \frac{2}{3}} = 2^{\frac{31}{30} - \frac{20}{30}} = 2^{\frac{11}{30}}$$ 9. Résultat final : $$2^{\frac{11}{30}} \times 3^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{11}{30}} \sqrt{3}$$ Donc, la simplification de l'expression est $$2^{\frac{11}{30}} \sqrt{3}$$.