1. **Énoncé du problème :** Calculer \((\sqrt{6} - \sqrt{5})^{2024} \times (\sqrt{6} - \sqrt{5})^{2024}\) et \(\left( \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 2} \right)^{-2} + \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^{-2}\). Calculer \((2 + \sqrt{3})^2\) puis déduire une simplification de \(\sqrt{7} + 4\sqrt{3}\). 2. **Calcul de \((\sqrt{6} - \sqrt{5})^{2024} \times (\sqrt{6} - \sqrt{5})^{2024}\) :** \[(\sqrt{6} - \sqrt{5})^{2024} \times (\sqrt{6} - \sqrt{5})^{2024} = (\sqrt{6} - \sqrt{5})^{4048}\] 3. **Calcul de \(\left( \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 2} \right)^{-2} + \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^{-2}\) :** - Inverse et carré du premier terme : \[\left( \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 2} \right)^{-2} = \left( \frac{\sqrt{3} - 2}{\sqrt{3}} \right)^2 = \frac{(\sqrt{3} - 2)^2}{3}\] Développons le numérateur : \[(\sqrt{3} - 2)^2 = (\sqrt{3})^2 - 2 \times 2 \times \sqrt{3} + 2^2 = 3 - 4\sqrt{3} + 4 = 7 - 4\sqrt{3}\] Donc : \[\left( \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 2} \right)^{-2} = \frac{7 - 4\sqrt{3}}{3}\] - Inverse et carré du second terme : \[\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^{-2} = \left( \frac{2}{\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{4}{2} = 2\] - Somme : \[\frac{7 - 4\sqrt{3}}{3} + 2 = \frac{7 - 4\sqrt{3}}{3} + \frac{6}{3} = \frac{13 - 4\sqrt{3}}{3}\] 4. **Calcul de \((2 + \sqrt{3})^2\) :** \[(2 + \sqrt{3})^2 = 2^2 + 2 \times 2 \times \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3}\] 5. **Simplification de \(\sqrt{7} + 4\sqrt{3}\) :** On remarque que \(7 + 4\sqrt{3} = (2 + \sqrt{3})^2\), donc \[\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3}\] Mais la question porte sur \(\sqrt{7} + 4\sqrt{3}\), qui est différent de \(\sqrt{7 + 4\sqrt{3}}\). Cependant, si on suppose une erreur et que la question veut dire \(\sqrt{7 + 4\sqrt{3}}\), alors c'est égal à \(2 + \sqrt{3}\), qui est un nombre irrationnel, donc pas un entier. Si \(\sqrt{7} + 4\sqrt{3}\) est un entier, cela est faux car \(\sqrt{7}\) et \(\sqrt{3}\) sont irrationnels et leur somme pondérée ne peut pas être un entier. **Réponses finales :** - \((\sqrt{6} - \sqrt{5})^{2024} \times (\sqrt{6} - \sqrt{5})^{2024} = (\sqrt{6} - \sqrt{5})^{4048}\) - \(\left( \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 2} \right)^{-2} + \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^{-2} = \frac{13 - 4\sqrt{3}}{3}\) - \((2 + \sqrt{3})^2 = 7 + 4\sqrt{3}\) - \(\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3}\) - \(\sqrt{7} + 4\sqrt{3}\) n'est pas un entier.