1. **Planteamiento del problema:** Se nos pide simplificar la expresión $$W = \left(\frac{1+i}{1-i}\right)^5 + \left(\frac{1-i}{1+i}\right)^9$$ y determinar cuál de las opciones A) 1, B) 2, C) -1, D) 0, E) -2 es correcta. 2. **Fórmulas y reglas importantes:** Para simplificar expresiones con números complejos, es útil usar la forma polar y propiedades de los números complejos. Recordemos que $$i^2 = -1$$ y que $$\frac{1+i}{1-i}$$ puede simplificarse multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador. 3. **Simplificación de la primera fracción:** $$\frac{1+i}{1-i} \times \frac{1+i}{1+i} = \frac{(1+i)^2}{(1)^2 - (-i)^2} = \frac{(1+i)^2}{1 - (-1)} = \frac{(1+i)^2}{2}$$ Calculamos el numerador: $$(1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i -1 = 2i$$ Por lo tanto: $$\frac{1+i}{1-i} = \frac{2i}{2} = i$$ 4. **Simplificación de la segunda fracción:** De manera similar: $$\frac{1-i}{1+i} \times \frac{1 - i}{1 - i} = \frac{(1 - i)^2}{1 - i^2} = \frac{(1 - i)^2}{1 - (-1)} = \frac{(1 - i)^2}{2}$$ Calculamos el numerador: $$(1 - i)^2 = 1 - 2i + i^2 = 1 - 2i -1 = -2i$$ Por lo tanto: $$\frac{1 - i}{1 + i} = \frac{-2i}{2} = -i$$ 5. **Reemplazamos en la expresión original:** $$W = (i)^5 + (-i)^9$$ 6. **Calculamos potencias:** Recordemos que $$i^4 = 1$$, entonces: $$i^5 = i^{4} \times i = 1 \times i = i$$ Para $$(-i)^9$$: $$(-i)^9 = (-1)^9 \times i^9 = -1 \times i^{8} \times i = -1 \times (i^4)^2 \times i = -1 \times 1^2 \times i = -i$$ 7. **Sumamos los resultados:** $$W = i + (-i) = i - i = 0$$ **Respuesta final:** $$\boxed{0}$$ que corresponde a la opción D).