1. Diberikan ekspresi $$\frac{64^{\frac{3}{4}} + 81^{\frac{1}{2}}}{125^{\frac{3}{5}} - 32^{\frac{1}{5}}}$$. Kita diminta mencari nilai paling sederhana dari ekspresi ini. 2. Gunakan sifat pangkat dan akar: $$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$$ dan $$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$$. 3. Hitung masing-masing bagian: - $$64^{\frac{3}{4}} = (64^{\frac{1}{4}})^3 = (\sqrt[4]{64})^3 = 2^3 = 8$$ karena $$64 = 2^6$$ dan $$\sqrt[4]{64} = 2^{6/4} = 2^{3/2} = 2 \sqrt{2}$$, tapi lebih mudah langsung hitung sebagai $$64^{3/4} = (2^6)^{3/4} = 2^{6 \times \frac{3}{4}} = 2^{4.5} = 2^{4 + 0.5} = 16 \times \sqrt{2}$$. Namun, untuk kesederhanaan, kita gunakan pendekatan langsung: $$64^{\frac{1}{4}} = 2^{6 \times \frac{1}{4}} = 2^{1.5} = 2 \sqrt{2}$$ Jadi $$64^{\frac{3}{4}} = (64^{\frac{1}{4}})^3 = (2 \sqrt{2})^3 = 8 \times 2 \sqrt{2} = 16 \sqrt{2}$$. - $$81^{\frac{1}{2}} = \sqrt{81} = 9$$. - $$125^{\frac{3}{5}} = (125^{\frac{1}{5}})^3 = 5^3 = 125$$ karena $$125 = 5^3$$. - $$32^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{32} = 2$$ karena $$32 = 2^5$$. 4. Substitusi nilai: $$\frac{16 \sqrt{2} + 9}{125 - 2} = \frac{16 \sqrt{2} + 9}{123}$$. Namun, ini tidak cocok dengan pilihan jawaban, jadi kita harus periksa kembali perhitungan pangkat 64: Perhitungan ulang: $$64 = 2^6$$ $$64^{\frac{3}{4}} = 2^{6 \times \frac{3}{4}} = 2^{4.5} = 2^4 \times 2^{0.5} = 16 \times \sqrt{2}$$. Jadi benar, $$64^{\frac{3}{4}} = 16 \sqrt{2}$$. Jadi ekspresi menjadi: $$\frac{16 \sqrt{2} + 9}{125 - 2} = \frac{16 \sqrt{2} + 9}{123}$$. Karena ini tidak sesuai pilihan, kemungkinan soal menginginkan pendekatan lain atau ada kesalahan. Namun, jika kita coba hitung nilai numerik: $$16 \sqrt{2} \approx 16 \times 1.414 = 22.624$$ $$22.624 + 9 = 31.624$$ $$125 - 2 = 123$$ $$\frac{31.624}{123} \approx 0.257$$ Lihat pilihan jawaban, yang mendekati adalah $$\frac{7}{21} = \frac{1}{3} \approx 0.333$$ dan $$\frac{25}{21} \approx 1.19$$, jadi tidak cocok. Maka kita asumsikan soal ingin kita hitung dengan cara lain, atau soal memiliki kesalahan. --- 2. Sederhanakan $$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}(1-\sqrt{5})}$$. Langkah: - Kalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat penyebut $$1 + \sqrt{5}$$ untuk menghilangkan akar di penyebut. $$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}(1-\sqrt{5})} \times \frac{1 + \sqrt{5}}{1 + \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{10}(1 + \sqrt{5})}{\sqrt{2}((1)^2 - (\sqrt{5})^2)} = \frac{\sqrt{10}(1 + \sqrt{5})}{\sqrt{2}(1 - 5)} = \frac{\sqrt{10}(1 + \sqrt{5})}{\sqrt{2}(-4)}$$ - Sederhanakan: $$\frac{\sqrt{10}(1 + \sqrt{5})}{-4 \sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{10}(1 + \sqrt{5})}{4 \sqrt{2}}$$ - Gabungkan akar: $$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{10}{2}} = \sqrt{5}$$ Jadi: $$-\frac{\sqrt{5}(1 + \sqrt{5})}{4} = -\frac{1}{4}(\sqrt{5} + 5)$$ Ini sama dengan pilihan A: $$-\frac{1}{4}(5 + \sqrt{5})$$. --- 3. Hitung $$\frac{2 \log 24 + 4^{1} \log 9 \cdot 9^{-\frac{1}{\log 2}}}{2 \log 25 \cdot 5^{1} \log 4}$$. Langkah: - Ingat $$4^1 = 4$$ dan $$5^1 = 5$$. - Sederhanakan $$9^{-\frac{1}{\log 2}}$$: Gunakan sifat logaritma dan eksponen: $$9 = 3^2$$ $$9^{-\frac{1}{\log 2}} = (3^2)^{-\frac{1}{\log 2}} = 3^{-\frac{2}{\log 2}}$$ Gunakan perubahan basis logaritma: $$a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$$, tapi lebih mudah evaluasi numerik: Misal $$x = \log 2$$, maka: $$9^{-\frac{1}{x}} = e^{\ln 9 \times (-\frac{1}{x})} = e^{-\frac{\ln 9}{x}}$$ Namun, ini rumit, jadi coba pendekatan lain. - Gunakan sifat $$a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$$: Tapi karena eksponen negatif, kita coba evaluasi numerik: $$\log 2 \approx 0.3010$$ $$\log 9 \approx 0.9542$$ $$9^{-\frac{1}{0.3010}} = 9^{-3.3219} = \frac{1}{9^{3.3219}}$$ sangat kecil, hampir nol. Jadi $$4 \log 9 \cdot 9^{-\frac{1}{\log 2}} \approx 4 \times 0.9542 \times 0 = 0$$. - Jadi pembilang: $$2 \log 24 + 0 = 2 \log 24$$ - Penyebut: $$2 \log 25 \cdot 5 \log 4 = 10 \log 25 \log 4$$ - Gunakan $$\log 24 = \log (3 \times 8) = \log 3 + \log 8$$ $$\log 3 \approx 0.4771, \log 8 = \log 2^3 = 3 \log 2 = 3 \times 0.3010 = 0.9030$$ Jadi: $$\log 24 = 0.4771 + 0.9030 = 1.3801$$ - $$\log 25 = \log 5^2 = 2 \log 5 = 2 \times 0.6990 = 1.3980$$ - $$\log 4 = \log 2^2 = 2 \log 2 = 0.6020$$ - Substitusi: Pembilang: $$2 \times 1.3801 = 2.7602$$ Penyebut: $$10 \times 1.3980 \times 0.6020 = 10 \times 0.841 = 8.41$$ - Jadi nilai: $$\frac{2.7602}{8.41} \approx 0.328$$ - Pilihan yang mendekati adalah $$\frac{1}{3} = 0.333$$, yaitu $$\frac{1}{3} = \frac{7}{21}$$ tidak ada, tapi pilihan C $$\frac{2}{3} = 0.666$$ terlalu besar. Namun, pilihan B $$\frac{3}{4} = 0.75$$, A $$\frac{4}{3} = 1.33$$, jadi nilai paling dekat adalah $$\frac{1}{3}$$ yang tidak ada. Maka jawaban yang paling mendekati adalah C $$\frac{2}{3}$$. --- Kesimpulan: 1. Jawaban soal 1 tidak sesuai pilihan, kemungkinan soal ada kesalahan. 2. Jawaban soal 2 adalah A. 3. Jawaban soal 3 adalah C. --- Jawaban: 1. Tidak ada pilihan cocok. 2. A 3. C