1. **Planteamiento del problema:** Simplificar la expresión $$(x+2)^2 - 3(x^2 - 2x + 4)$$ 2. **Expansión de los términos:** - Expande el primer término usando la fórmula del cuadrado de un binomio: $$ (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4 $$ - Expande el segundo término multiplicando cada término dentro del paréntesis por $-3$: $$ -3(x^2 - 2x + 4) = -3x^2 + 6x - 12 $$ 3. **Suma de los términos expandidos:** $$ x^2 + 4x + 4 - 3x^2 + 6x - 12 $$ 4. **Agrupación y simplificación:** Agrupa términos semejantes: $$ (x^2 - 3x^2) + (4x + 6x) + (4 - 12) $$ 5. **Simplificación final:** $$ \cancel{x^2} - 3\cancel{x^2} = -2x^2 $$ $$ 4x + 6x = 10x $$ $$ 4 - 12 = -8 $$ Por lo tanto, la expresión simplificada es: $$ -2x^2 + 10x - 8 $$ --- 1. **Planteamiento del problema:** Encontrar el cociente y el resto de la división $$ \frac{4x^5 + 2x^3 - 3x - 1}{x^2 - 2} $$ 2. **Procedimiento:** División de polinomios por división larga. 3. **Primer paso:** Divide el término de mayor grado del dividendo $4x^5$ entre el término de mayor grado del divisor $x^2$: $$ \frac{4x^5}{x^2} = 4x^3 $$ 4. **Multiplica el divisor por $4x^3$ y réstalo del dividendo:** $$ (x^2 - 2)(4x^3) = 4x^5 - 8x^3 $$ $$ (4x^5 + 2x^3 - 3x - 1) - (4x^5 - 8x^3) = 0 + 10x^3 - 3x - 1 $$ 5. **Segundo paso:** Divide el nuevo término de mayor grado $10x^3$ entre $x^2$: $$ \frac{10x^3}{x^2} = 10x $$ 6. **Multiplica el divisor por $10x$ y réstalo:** $$ (x^2 - 2)(10x) = 10x^3 - 20x $$ $$ (10x^3 - 3x - 1) - (10x^3 - 20x) = 0 + 17x - 1 $$ 7. **El grado del residuo $17x - 1$ es menor que el grado del divisor $x^2 - 2$, por lo que la división termina aquí.** **Cociente:** $$4x^3 + 10x$$ **Resto:** $$17x - 1$$