1. **Énoncé du problème :** Écrire sous la forme $a + b\sqrt{c}$ avec $a,b,c$ entiers les expressions suivantes : $$A = \sqrt{2}(\sqrt{2} + \sqrt{5})$$ $$B = 5\sqrt{3}(2\sqrt{3} - 4\sqrt{5})$$ $$C = (\sqrt{5} + 3\sqrt{2})(\sqrt{2} + \sqrt{5})$$ $$D = (3\sqrt{7} - 7\sqrt{3})(\sqrt{3} + 2\sqrt{7})$$ 2. **Formules et règles importantes :** - $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ - $\sqrt{a} \times \sqrt{a} = a$ - Distribution : $(x+y)(z+t) = xz + xt + yz + yt$ 3. **Calculs intermédiaires et simplifications :** **A:** $$A = \sqrt{2} \times \sqrt{2} + \sqrt{2} \times \sqrt{5} = 2 + \sqrt{10}$$ **B:** $$B = 5\sqrt{3} \times 2\sqrt{3} - 5\sqrt{3} \times 4\sqrt{5} = 10 \times 3 - 20 \sqrt{15} = 30 - 20\sqrt{15}$$ **C:** $$C = (\sqrt{5} + 3\sqrt{2})(\sqrt{2} + \sqrt{5})$$ $$= \sqrt{5} \times \sqrt{2} + \sqrt{5} \times \sqrt{5} + 3\sqrt{2} \times \sqrt{2} + 3\sqrt{2} \times \sqrt{5}$$ $$= \sqrt{10} + 5 + 6 + 3\sqrt{10} = (5 + 6) + (\sqrt{10} + 3\sqrt{10}) = 11 + 4\sqrt{10}$$ **D:** $$D = (3\sqrt{7} - 7\sqrt{3})(\sqrt{3} + 2\sqrt{7})$$ $$= 3\sqrt{7} \times \sqrt{3} + 3\sqrt{7} \times 2\sqrt{7} - 7\sqrt{3} \times \sqrt{3} - 7\sqrt{3} \times 2\sqrt{7}$$ $$= 3\sqrt{21} + 6 \times 7 - 7 \times 3 - 14 \sqrt{21} = (42 - 21) + (3\sqrt{21} - 14\sqrt{21}) = 21 - 11\sqrt{21}$$ 4. **Réponse finale :** $$A = 2 + \sqrt{10}$$ $$B = 30 - 20\sqrt{15}$$ $$C = 11 + 4\sqrt{10}$$ $$D = 21 - 11\sqrt{21}$$