1. Tehtävä: Selvitetään, monennesta sisäkkäisestä neliöstä alkaen neliöiden pinta-ala on alle 0,01 % alkuperäisen neliön pinta-alasta. 2. Oletetaan, että alkuperäisen neliön pinta-ala on $A_0$. 3. Jokainen seuraava sisäkkäinen neliö on pienempi, ja sen pinta-ala on tietty osa edellisen neliön pinta-alasta. Oletetaan, että pinta-ala pienenee vakiosuhteella $r$ siten, että $A_n = r^n A_0$, missä $A_n$ on $n$:nnen neliön pinta-ala. 4. Ehto on, että $A_n < 0{,}0001 A_0$ (koska 0,01 % = 0,0001). 5. Sijoitetaan kaavaan: $$r^n A_0 < 0{,}0001 A_0$$ 6. Voidaan supistaa $A_0$ pois, koska se on positiivinen: $$r^n < 0{,}0001$$ 7. Otetaan logaritmi molemmilta puolilta: $$n \log r < \log 0{,}0001$$ 8. Koska $r < 1$, $ \log r$ on negatiivinen, joten epäyhtälön suunta vaihtuu: $$n > \frac{\log 0{,}0001}{\log r}$$ 9. Tarvitsemme arvon $r$:lle. Sisäkkäisten neliöiden pinta-alat pienenevät yleensä neliön sivun pituuden neliöön perustuen. Jos sivun pituus pienenee esimerkiksi $\frac{1}{2}$, niin pinta-ala pienenee $r = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$. 10. Oletetaan siis $r = \frac{1}{4}$. 11. Lasketaan: $$n > \frac{\log 0{,}0001}{\log \frac{1}{4}} = \frac{\log 10^{-4}}{\log \frac{1}{4}} = \frac{-4}{\log_{10} 4^{-1}} = \frac{-4}{-\log_{10} 4} = \frac{4}{\log_{10} 4}$$ 12. Koska $\log_{10} 4 \approx 0{,}60206$, saadaan: $$n > \frac{4}{0{,}60206} \approx 6{,}64$$ 13. Vastaus: Pinta-ala on alle 0,01 % alkuperäisestä alkaen $7$. neliöstä. \textbf{Vastaus:} $n = 7$