1. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan: $$\begin{cases} x + y + z = -6 \\ x - y - z = 0 \\ x - y + z = -2 \end{cases}$$ 1. Tambahkan persamaan (2) dan (3): $$ (x - y - z) + (x - y + z) = 0 + (-2) \Rightarrow 2x - 2y = -2 $$ Sederhanakan: $$ x - y = -1 \Rightarrow y = x + 1 $$ 2. Substitusikan $y = x + 1$ ke persamaan (1): $$ x + (x + 1) + z = -6 \Rightarrow 2x + 1 + z = -6 $$ $$ z = -6 - 2x - 1 = -7 - 2x $$ 3. Substitusikan $y$ dan $z$ ke persamaan (2): $$ x - (x + 1) - (-7 - 2x) = 0 $$ $$ x - x - 1 + 7 + 2x = 0 $$ $$ 2x + 6 = 0 \Rightarrow 2x = -6 \Rightarrow x = -3 $$ 4. Hitung $y$ dan $z$: $$ y = -3 + 1 = -2 $$ $$ z = -7 - 2(-3) = -7 + 6 = -1 $$ Jadi, himpunan penyelesaian adalah $\boxed{(x,y,z) = (-3, -2, -1)}$. 2. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan: $$\begin{cases} x + y + z = 7 \\ 2x + y - 2z = 0 \\ 3x + 2y - 2z = 6 \end{cases}$$ 1. Dari persamaan (1), ekspresikan $z$: $$ z = 7 - x - y $$ 2. Substitusikan $z$ ke persamaan (2): $$ 2x + y - 2(7 - x - y) = 0 $$ $$ 2x + y - 14 + 2x + 2y = 0 $$ $$ 4x + 3y = 14 $$ 3. Substitusikan $z$ ke persamaan (3): $$ 3x + 2y - 2(7 - x - y) = 6 $$ $$ 3x + 2y - 14 + 2x + 2y = 6 $$ $$ 5x + 4y = 20 $$ 4. Sistem dua persamaan linear: $$\begin{cases} 4x + 3y = 14 \\ 5x + 4y = 20 \end{cases}$$ 5. Kalikan persamaan pertama dengan 4 dan kedua dengan 3: $$\begin{cases} 16x + 12y = 56 \\ 15x + 12y = 60 \end{cases}$$ 6. Kurangkan persamaan kedua dari pertama: $$ (16x - 15x) + (12y - 12y) = 56 - 60 $$ $$ x = -4 $$ 7. Substitusikan $x = -4$ ke persamaan $4x + 3y = 14$: $$ 4(-4) + 3y = 14 $$ $$ -16 + 3y = 14 $$ $$ 3y = 30 \Rightarrow y = 10 $$ 8. Hitung $z$: $$ z = 7 - (-4) - 10 = 7 + 4 - 10 = 1 $$ Jadi, himpunan penyelesaian adalah $\boxed{(x,y,z) = (-4, 10, 1)}$. 3. Aziz membeli 4 roti, 3 donat, dan 1 kopi seharga 14000. Bimo membeli 2 roti, 4 donat, dan 1 kopi seharga 11000. Dilan membeli 5 roti dan 2 kopi seharga 8000. Misalkan harga roti = $r$, donat = $d$, kopi = $k$. 1. Buat sistem persamaan: $$\begin{cases} 4r + 3d + k = 14000 \\ 2r + 4d + k = 11000 \\ 5r + 0d + 2k = 8000 \end{cases}$$ 2. Kurangkan persamaan kedua dari pertama: $$ (4r - 2r) + (3d - 4d) + (k - k) = 14000 - 11000 $$ $$ 2r - d = 3000 \Rightarrow d = 2r - 3000 $$ 3. Dari persamaan ketiga: $$ 5r + 2k = 8000 $$ $$ 2k = 8000 - 5r \Rightarrow k = \frac{8000 - 5r}{2} $$ 4. Substitusikan $d$ dan $k$ ke persamaan kedua: $$ 2r + 4(2r - 3000) + \frac{8000 - 5r}{2} = 11000 $$ $$ 2r + 8r - 12000 + \frac{8000 - 5r}{2} = 11000 $$ $$ 10r - 12000 + \frac{8000 - 5r}{2} = 11000 $$ 5. Kalikan seluruh persamaan dengan 2: $$ 20r - 24000 + 8000 - 5r = 22000 $$ $$ 15r - 16000 = 22000 $$ $$ 15r = 38000 \Rightarrow r = \frac{38000}{15} = 2533.33 $$ 6. Hitung $d$: $$ d = 2(2533.33) - 3000 = 5066.66 - 3000 = 2066.66 $$ 7. Hitung $k$: $$ k = \frac{8000 - 5(2533.33)}{2} = \frac{8000 - 12666.65}{2} = \frac{-4666.65}{2} = -2333.33 $$ Harga kopi negatif tidak mungkin, jadi periksa kembali. Alternatif: Gunakan metode eliminasi lain. 8. Kurangkan persamaan ketiga dari dua kali persamaan kedua: $$ 2(2r + 4d + k) = 2(11000) \Rightarrow 4r + 8d + 2k = 22000 $$ $$ (4r + 8d + 2k) - (5r + 0d + 2k) = 22000 - 8000 $$ $$ -r + 8d = 14000 \Rightarrow r = 8d - 14000 $$ 9. Substitusikan $r$ ke persamaan pertama: $$ 4(8d - 14000) + 3d + k = 14000 $$ $$ 32d - 56000 + 3d + k = 14000 $$ $$ 35d + k = 70000 $$ 10. Substitusikan $r$ ke persamaan kedua: $$ 2(8d - 14000) + 4d + k = 11000 $$ $$ 16d - 28000 + 4d + k = 11000 $$ $$ 20d + k = 39000 $$ 11. Kurangkan persamaan (10) dari (9): $$ (35d + k) - (20d + k) = 70000 - 39000 $$ $$ 15d = 31000 \Rightarrow d = \frac{31000}{15} = 2066.67 $$ 12. Hitung $k$ dari (10): $$ 20(2066.67) + k = 39000 $$ $$ 41333.33 + k = 39000 \Rightarrow k = 39000 - 41333.33 = -2333.33 $$ 13. Hitung $r$: $$ r = 8(2066.67) - 14000 = 16533.33 - 14000 = 2533.33 $$ Harga kopi negatif, ini tidak mungkin, berarti ada kesalahan dalam data atau asumsi. Namun, jika kita abaikan harga kopi negatif dan hanya hitung harga roti dan donat: 14. Jika Cakra membeli 1 roti dan 1 donat: $$ r + d = 2533.33 + 2066.67 = 4600 $$ Jadi, Cakra harus membayar sekitar $\boxed{4600}$. 4. Daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan: $$\begin{cases} 3x + 2y \leq 36 \\ x + 2y \geq 20 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$$ Berdasarkan grafik, daerah penyelesaian berada di nomor IV. 5. Sistem pertidaksamaan yang memenuhi daerah yang diarsir pada gambar adalah: $$\begin{cases} 3x + 2y \leq 36 \\ x + 2y \geq 20 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$$ 6. Diketahui sistem pertidaksamaan: $$\begin{cases} 3x + 2y \leq 12 \\ x + 4y \leq 14 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$$ Daerah penyelesaian adalah himpunan titik $(x,y)$ yang memenuhi semua pertidaksamaan tersebut, yaitu daerah di bawah garis $3x + 2y = 12$ dan $x + 4y = 14$ serta di kuadran pertama (positif $x$ dan $y$). 7. Model matematika untuk permasalahan usaha kontrakan: Misalkan $x$ = jumlah kamar tipe I, $y$ = jumlah kamar tipe II. 1. Batasan jumlah kamar: $$ x + y \leq 10 $$ 2. Batasan modal: $$ 9.000.000x + 12.000.000y \leq 108.000.000 $$ 3. Fungsi pendapatan: $$ P = 400.000x + 500.000y $$ 4. Batasan non-negatif: $$ x \geq 0, y \geq 0 $$ 8. Daerah penyelesaian dan nilai maksimum fungsi: $$ f(x,y) = x + y - 10 $$ dengan sistem pertidaksamaan: $$\begin{cases} 3x + 2y \leq 36 \\ x + 2y \geq 20 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$$ 1. Tentukan titik potong garis batas: - Garis 1: $3x + 2y = 36$ - Garis 2: $x + 2y = 20$ 2. Cari titik potong kedua garis: Dari garis 2: $$ 2y = 20 - x \Rightarrow y = \frac{20 - x}{2} $$ Substitusi ke garis 1: $$ 3x + 2 \times \frac{20 - x}{2} = 36 $$ $$ 3x + 20 - x = 36 $$ $$ 2x = 16 \Rightarrow x = 8 $$ $$ y = \frac{20 - 8}{2} = 6 $$ Titik potong: $(8,6)$ 3. Titik potong dengan sumbu: - Garis 1 dengan sumbu x: $3x = 36 \Rightarrow x=12$, $y=0$ - Garis 1 dengan sumbu y: $2y=36 \Rightarrow y=18$, $x=0$ - Garis 2 dengan sumbu x: $x=20$, $y=0$ (tapi $x \leq 12$ dari batas lain) - Garis 2 dengan sumbu y: $2y=20 \Rightarrow y=10$, $x=0$ 4. Titik-titik sudut daerah: $$ (0,10), (8,6), (12,0), (0,18) $$ 5. Hitung nilai $f(x,y)$ di titik-titik sudut: - $(0,10): 0 + 10 - 10 = 0$ - $(8,6): 8 + 6 - 10 = 4$ - $(12,0): 12 + 0 - 10 = 2$ - $(0,18)$ tidak memenuhi $x + 2y \geq 20$ karena $0 + 36 \geq 20$ benar, tapi $3x + 2y \leq 36$ adalah $0 + 36 \leq 36$ benar, jadi termasuk. 6. Nilai maksimum adalah $4$ pada titik $(8,6)$. 9. Daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan: $$\begin{cases} 5x + 8y \geq 40 \\ 3x - 2y \geq 6 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$$ Berdasarkan grafik, daerah penyelesaian adalah nomor II.