1. **Problema:** Risolvere il sistema lineare: $$\begin{cases} x - y + z = 1 \\ x + y = 4 \\ 2x + 2y + 2z = 9 \end{cases}$$ 2. **Formula e regole:** Per risolvere un sistema lineare, possiamo usare il metodo di sostituzione o eliminazione. Qui useremo la sostituzione. 3. Dalla seconda equazione: $$x + y = 4 \implies y = 4 - x$$ 4. Sostituiamo $y = 4 - x$ nella prima equazione: $$x - (4 - x) + z = 1$$ 5. Semplifichiamo: $$x - 4 + x + z = 1$$ $$2x - 4 + z = 1$$ $$2x + z = 5$$ 6. Dalla terza equazione: $$2x + 2y + 2z = 9$$ Sostituiamo $y = 4 - x$: $$2x + 2(4 - x) + 2z = 9$$ 7. Semplifichiamo: $$2x + 8 - 2x + 2z = 9$$ $$8 + 2z = 9$$ 8. Isoliamo $z$: $$2z = 9 - 8$$ $$2z = 1$$ $$z = \frac{1}{2}$$ 9. Torniamo all'equazione $2x + z = 5$ e sostituiamo $z = \frac{1}{2}$: $$2x + \frac{1}{2} = 5$$ $$2x = 5 - \frac{1}{2}$$ $$2x = \frac{10}{2} - \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$$ 10. Dividiamo entrambi i membri per 2: $$x = \frac{\cancel{2} \times \frac{9}{2}}{\cancel{2}} = \frac{9}{4}$$ 11. Calcoliamo $y$ usando $y = 4 - x$: $$y = 4 - \frac{9}{4} = \frac{16}{4} - \frac{9}{4} = \frac{7}{4}$$ **Risposta finale:** $$\boxed{\left(x, y, z\right) = \left(\frac{9}{4}, \frac{7}{4}, \frac{1}{2}\right)}$$