1. **Stato il problema:** Risolvere il sistema lineare: $$\begin{cases} x - y + z = 1 \\ x + y = 4 \\ 2x + 2y + 2z = 9 \end{cases}$$ 2. **Formula e regole:** Per risolvere un sistema lineare a tre incognite, possiamo usare il metodo di sostituzione o di eliminazione. Qui useremo il metodo di sostituzione. 3. **Passo 1:** Dalla seconda equazione ricaviamo $x$ in funzione di $y$: $$x + y = 4 \implies x = 4 - y$$ 4. **Passo 2:** Sostituiamo $x = 4 - y$ nella prima equazione: $$ (4 - y) - y + z = 1 \implies 4 - 2y + z = 1$$ 5. **Passo 3:** Isoliamo $z$: $$z = 1 - 4 + 2y = -3 + 2y$$ 6. **Passo 4:** Sostituiamo $x = 4 - y$ e $z = -3 + 2y$ nella terza equazione: $$2(4 - y) + 2y + 2(-3 + 2y) = 9$$ 7. **Passo 5:** Svolgiamo i calcoli: $$8 - 2y + 2y + 2(-3) + 4y = 9$$ $$8 + 0 - 6 + 4y = 9$$ $$2 + 4y = 9$$ 8. **Passo 6:** Isoliamo $y$: $$4y = 9 - 2 = 7 \implies y = \frac{7}{4}$$ 9. **Passo 7:** Calcoliamo $x$: $$x = 4 - y = 4 - \frac{7}{4} = \frac{16}{4} - \frac{7}{4} = \frac{9}{4}$$ 10. **Passo 8:** Calcoliamo $z$: $$z = -3 + 2y = -3 + 2 \times \frac{7}{4} = -3 + \frac{14}{4} = -3 + \frac{7}{2} = -\frac{6}{2} + \frac{7}{2} = \frac{1}{2}$$ **Risposta finale:** $$\boxed{\left(x, y, z\right) = \left(\frac{9}{4}, \frac{7}{4}, \frac{1}{2}\right)}$$