1. **Enunciare il problema:** Discutere e risolvere il sistema lineare a parametri reali $k$: $$\begin{cases} x - k y - z = 0 \\ x + y + k z = 1 \\ x - z = k \\ x + (1 - k) y + k z = 1 - k \end{cases}$$ 2. **Scrivere la matrice dei coefficienti e il vettore dei termini noti:** $$A = \begin{pmatrix} 1 & -k & -1 \\ 1 & 1 & k \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1-k & k \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ k \\ 1-k \end{pmatrix}$$ 3. **Verificare la compatibilità del sistema tramite il rango:** Calcoliamo il rango di $A$ e di $[A|b]$ per diversi valori di $k$. 4. **Riduzione e confronto delle equazioni:** Dalla terza equazione: $$x - z = k \implies x = z + k$$ Sostituiamo $x$ nella prima: $$z + k - k y - z = 0 \implies k - k y = 0 \implies k(1 - y) = 0$$ 5. **Analisi del caso $k=0$:** Se $k=0$, allora dalla prima equazione: $$0 = 0$$ che è sempre vera. Sostituendo $k=0$ nel sistema: $$\begin{cases} x - 0 \cdot y - z = 0 \\ x + y + 0 \cdot z = 1 \\ x - z = 0 \\ x + (1 - 0) y + 0 \cdot z = 1 - 0 \end{cases}$$ che diventa: $$\begin{cases} x - z = 0 \\ x + y = 1 \\ x - z = 0 \\ x + y = 1 \end{cases}$$ Le equazioni 1 e 3 sono identiche, così come 2 e 4. Quindi il sistema si riduce a: $$\begin{cases} x - z = 0 \\ x + y = 1 \end{cases}$$ che ha infinite soluzioni: $$x = z, \quad y = 1 - x$$ con $x,z$ liberi. 6. **Analisi del caso $k \neq 0$:** Dalla relazione $k(1 - y) = 0$ segue che: $$1 - y = 0 \implies y = 1$$ Sostituiamo $y=1$ e $x = z + k$ nelle altre equazioni. Seconda equazione: $$x + y + k z = 1 \implies (z + k) + 1 + k z = 1 \implies z + k + 1 + k z = 1$$ $$z + k z + k + 1 = 1 \implies z(1 + k) + k + 1 = 1$$ $$z(1 + k) + k = 0 \implies z(1 + k) = -k$$ Se $k \neq -1$, allora: $$z = \frac{-k}{1 + k}$$ Se $k = -1$, analizziamo a parte. 7. **Caso $k = -1$:** Sostituendo $k = -1$: $$z(1 - 1) = z \cdot 0 = -(-1) = 1$$ $$0 = 1$$ contraddizione, quindi nessuna soluzione. 8. **Calcolo $x$ per $k \neq -1$:** $$x = z + k = \frac{-k}{1 + k} + k = \frac{-k + k(1 + k)}{1 + k} = \frac{-k + k + k^2}{1 + k} = \frac{k^2}{1 + k}$$ 9. **Verifica quarta equazione:** $$x + (1 - k) y + k z = 1 - k$$ Sostituiamo $x, y, z$: $$\frac{k^2}{1 + k} + (1 - k) \cdot 1 + k \cdot \frac{-k}{1 + k} = 1 - k$$ $$\frac{k^2}{1 + k} + 1 - k - \frac{k^2}{1 + k} = 1 - k$$ $$1 - k = 1 - k$$ vero, quindi la soluzione è consistente. **Risultato finale:** - Per $k=0$, infinite soluzioni con $x=z$, $y=1-x$. - Per $k=-1$, nessuna soluzione. - Per $k \neq 0, -1$, unica soluzione: $$y=1, \quad z=\frac{-k}{1+k}, \quad x=\frac{k^2}{1+k}$$