1. Enunciamo il problema: risolvere il sistema di equazioni $$\begin{cases} (x - 2)^2 + \frac{y + 4}{3} = (x - 5)(x + 1) + 2y - x \\ \frac{x}{5} + \frac{y}{3} = 2 \end{cases}$$ 2. La seconda equazione è una retta e può essere riscritta isolando $y$: $$\frac{x}{5} + \frac{y}{3} = 2 \implies \frac{y}{3} = 2 - \frac{x}{5} \implies y = 3\left(2 - \frac{x}{5}\right) = 6 - \frac{3x}{5}$$ 3. Sostituiamo $y$ nella prima equazione: $$ (x - 2)^2 + \frac{\left(6 - \frac{3x}{5}\right) + 4}{3} = (x - 5)(x + 1) + 2\left(6 - \frac{3x}{5}\right) - x $$ 4. Semplifichiamo il termine frazionario a sinistra: $$ \frac{6 - \frac{3x}{5} + 4}{3} = \frac{10 - \frac{3x}{5}}{3} = \frac{10}{3} - \frac{3x}{15} = \frac{10}{3} - \frac{x}{5} $$ 5. Espandiamo e semplifichiamo i termini a destra: $$ (x - 5)(x + 1) = x^2 + x - 5x - 5 = x^2 - 4x - 5 $$ $$ 2\left(6 - \frac{3x}{5}\right) = 12 - \frac{6x}{5} $$ 6. Quindi la prima equazione diventa: $$ (x - 2)^2 + \frac{10}{3} - \frac{x}{5} = x^2 - 4x - 5 + 12 - \frac{6x}{5} - x $$ 7. Espandiamo $(x - 2)^2$: $$ x^2 - 4x + 4 + \frac{10}{3} - \frac{x}{5} = x^2 - 4x - 5 + 12 - \frac{6x}{5} - x $$ 8. Semplifichiamo entrambi i lati: $$ x^2 - 4x + 4 + \frac{10}{3} - \frac{x}{5} = x^2 - 4x + 7 - \frac{6x}{5} - x $$ 9. Sottraiamo $x^2$ e $-4x$ da entrambi i lati: $$ 4 + \frac{10}{3} - \frac{x}{5} = 7 - \frac{6x}{5} - x $$ 10. Portiamo tutti i termini con $x$ a sinistra e i numeri a destra: $$ - \frac{x}{5} + \frac{6x}{5} + x = 7 - 4 - \frac{10}{3} $$ 11. Calcoliamo i coefficienti di $x$ a sinistra: $$ - \frac{x}{5} + \frac{6x}{5} + x = \left(-\frac{1}{5} + \frac{6}{5} + 1\right)x = \left(\frac{5}{5} + 1\right)x = (1 + 1)x = 2x $$ 12. Calcoliamo il lato destro: $$ 7 - 4 - \frac{10}{3} = 3 - \frac{10}{3} = \frac{9}{3} - \frac{10}{3} = -\frac{1}{3} $$ 13. Quindi abbiamo: $$ 2x = -\frac{1}{3} \implies x = -\frac{1}{6} $$ 14. Sostituiamo $x = -\frac{1}{6}$ nella seconda equazione per trovare $y$: $$ y = 6 - \frac{3}{5} \left(-\frac{1}{6}\right) = 6 + \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{6} = 6 + \frac{3}{30} = 6 + \frac{1}{10} = \frac{60}{10} + \frac{1}{10} = \frac{61}{10} $$ 15. La soluzione del sistema è quindi: $$ \left(-\frac{1}{6}, \frac{61}{10}\right) $$ 16. Verifica: il punto dato corrisponde esattamente alla soluzione trovata.