1. **Problema:** Determinare i valori di $a$, $b$ e $c$ per cui le seguenti equazioni sono identità. 2. **Metodo generale:** Un'identità è un'uguaglianza vera per ogni valore della variabile $x$. Per verificarla, si porta tutto a un denominatore comune e si uguagliano i numeratori. 3. **Esempio 1:** $$\frac{1}{x^2 + x - 2} = \frac{a}{x - 1} + \frac{b}{x + 2}$$ Fattorizziamo il denominatore a sinistra: $$x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)$$ Portiamo tutto a denominatore comune: $$\frac{1}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{a(x + 2) + b(x - 1)}{(x - 1)(x + 2)}$$ Uguagliamo i numeratori: $$1 = a(x + 2) + b(x - 1) = (a + b)x + (2a - b)$$ Per identità, i coefficienti devono essere uguali: $$a + b = 0$$ $$2a - b = 1$$ Risolvendo il sistema: $$a + b = 0 \Rightarrow b = -a$$ $$2a - (-a) = 1 \Rightarrow 3a = 1 \Rightarrow a = \frac{1}{3}$$ $$b = -\frac{1}{3}$$ 4. **Esempio 2:** $$\frac{x + 1}{x^2 - 3x - 4} = \frac{a}{x + 1} + \frac{b}{x - 4}$$ Fattorizziamo il denominatore a sinistra: $$x^2 - 3x - 4 = (x + 1)(x - 4)$$ Portiamo a denominatore comune: $$\frac{x + 1}{(x + 1)(x - 4)} = \frac{a(x - 4) + b(x + 1)}{(x + 1)(x - 4)}$$ Uguagliamo i numeratori: $$x + 1 = a(x - 4) + b(x + 1) = (a + b)x + (-4a + b)$$ Per identità: $$a + b = 1$$ $$-4a + b = 1$$ Risolvendo: $$b = 1 - a$$ $$-4a + 1 - a = 1 \Rightarrow -5a = 0 \Rightarrow a = 0$$ $$b = 1$$ 5. **Esempio 3:** $$\frac{2x + 1}{x^3 - x} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x - 1} + \frac{c}{x + 1}$$ Fattorizziamo il denominatore a sinistra: $$x^3 - x = x(x - 1)(x + 1)$$ Portiamo a denominatore comune: $$\frac{2x + 1}{x(x - 1)(x + 1)} = \frac{a(x - 1)(x + 1) + b x (x + 1) + c x (x - 1)}{x(x - 1)(x + 1)}$$ Uguagliamo i numeratori: $$2x + 1 = a(x^2 - 1) + b x (x + 1) + c x (x - 1)$$ Espandiamo: $$2x + 1 = a x^2 - a + b x^2 + b x + c x^2 - c x$$ Raggruppiamo: $$2x + 1 = (a + b + c) x^2 + (b - c) x - a$$ Per identità: $$a + b + c = 0$$ $$b - c = 2$$ $$-a = 1 \Rightarrow a = -1$$ Sostituiamo $a$: $$-1 + b + c = 0 \Rightarrow b + c = 1$$ Sistema: $$b - c = 2$$ $$b + c = 1$$ Sommiamo: $$2b = 3 \Rightarrow b = \frac{3}{2}$$ $$c = 1 - b = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$$ 6. **Esempio 4:** $$\frac{x - 2}{x^3 + 1} = \frac{a}{x + 1} + \frac{b x + c}{x^2 - x + 1}$$ Fattorizziamo il denominatore a sinistra: $$x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$$ Portiamo a denominatore comune: $$\frac{x - 2}{(x + 1)(x^2 - x + 1)} = \frac{a(x^2 - x + 1) + (b x + c)(x + 1)}{(x + 1)(x^2 - x + 1)}$$ Uguagliamo i numeratori: $$x - 2 = a(x^2 - x + 1) + (b x + c)(x + 1)$$ Espandiamo: $$x - 2 = a x^2 - a x + a + b x^2 + b x + c x + c$$ Raggruppiamo: $$x - 2 = (a + b) x^2 + (-a + b + c) x + (a + c)$$ Per identità: $$a + b = 0$$ $$-a + b + c = 1$$ $$a + c = -2$$ Risolvendo: Da $a + b = 0$ otteniamo $b = -a$ Sostituiamo in $-a + b + c = 1$: $$-a - a + c = 1 \Rightarrow -2a + c = 1$$ Da $a + c = -2$ otteniamo $c = -2 - a$ Sostituiamo in $-2a + c = 1$: $$-2a + (-2 - a) = 1 \Rightarrow -3a - 2 = 1 \Rightarrow -3a = 3 \Rightarrow a = -1$$ Calcoliamo $b$ e $c$: $$b = -a = 1$$ $$c = -2 - a = -2 - (-1) = -1$$ 7. **Esempio 5:** L'equazione $a x + b y = 1$ ha come soluzioni $(1, -2)$ e $(2, 3)$. Sostituiamo: $$a(1) + b(-2) = 1 \Rightarrow a - 2b = 1$$ $$a(2) + b(3) = 1 \Rightarrow 2a + 3b = 1$$ Risolvendo: Moltiplichiamo la prima per 3: $$3a - 6b = 3$$ Moltiplichiamo la seconda per 2: $$4a + 6b = 2$$ Sommiamo: $$7a = 5 \Rightarrow a = \frac{5}{7}$$ Sostituiamo in $a - 2b = 1$: $$\frac{5}{7} - 2b = 1 \Rightarrow -2b = 1 - \frac{5}{7} = \frac{2}{7} \Rightarrow b = -\frac{1}{7}$$ 8. **Esempio 6:** L'equazione $a x + b y + c z = 1$ ha come soluzioni $(1, 1, \frac{1}{2})$, $(2, 1, 0)$ e $(0, 5, 4)$. Sostituiamo: $$a(1) + b(1) + c\left(\frac{1}{2}\right) = 1 \Rightarrow a + b + \frac{c}{2} = 1$$ $$a(2) + b(1) + c(0) = 1 \Rightarrow 2a + b = 1$$ $$a(0) + b(5) + c(4) = 1 \Rightarrow 5b + 4c = 1$$ Risolvendo il sistema: Da $2a + b = 1$ otteniamo $b = 1 - 2a$ Sostituiamo in $a + b + \frac{c}{2} = 1$: $$a + (1 - 2a) + \frac{c}{2} = 1 \Rightarrow 1 - a + \frac{c}{2} = 1 \Rightarrow -a + \frac{c}{2} = 0 \Rightarrow c = 2a$$ Sostituiamo $b$ e $c$ in $5b + 4c = 1$: $$5(1 - 2a) + 4(2a) = 1 \Rightarrow 5 - 10a + 8a = 1 \Rightarrow 5 - 2a = 1 \Rightarrow -2a = -4 \Rightarrow a = 2$$ Calcoliamo $b$ e $c$: $$b = 1 - 2(2) = 1 - 4 = -3$$ $$c = 2(2) = 4$$ **Risposte finali:** - Esempio 1: $a = \frac{1}{3}$, $b = -\frac{1}{3}$ - Esempio 2: $a = 0$, $b = 1$ - Esempio 3: $a = -1$, $b = \frac{3}{2}$, $c = -\frac{1}{2}$ - Esempio 4: $a = -1$, $b = 1$, $c = -1$ - Esempio 5: $a = \frac{5}{7}$, $b = -\frac{1}{7}$ - Esempio 6: $a = 2$, $b = -3$, $c = 4$