1. Il problema chiede di determinare se i sistemi lineari della forma $AX = B$ hanno soluzioni e, se sì, di trovarle. 2. Per verificare se un sistema ha soluzioni, si confrontano i ranghi della matrice dei coefficienti $A$ e della matrice aumentata $(A|B)$. - Se $\text{rank}(A) = \text{rank}(A|B)$, il sistema è compatibile (ha soluzioni). - Se $\text{rank}(A) < \text{rank}(A|B)$, il sistema è incompatibile (non ha soluzioni). - Se il sistema è compatibile e $\text{rank}(A) = n$ (numero di incognite), ha soluzione unica. - Se $\text{rank}(A) < n$, ha infinite soluzioni. 3. Consideriamo il primo sistema: $$ (A|B) = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & 3 & 0 \end{pmatrix} $$ Qui $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 2 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}$ e $B = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$. Calcoliamo $\text{rank}(A)$: - Le righe di $A$ sono: $r_1 = (1, -1)$ $r_2 = (1, 2)$ $r_3 = (3, 3)$ Verifichiamo se $r_3$ è combinazione lineare di $r_1$ e $r_2$: $$ \alpha r_1 + \beta r_2 = r_3 \Rightarrow \alpha (1, -1) + \beta (1, 2) = (3, 3) $$ Da cui: $$ \alpha + \beta = 3 \\ -\alpha + 2\beta = 3 $$ Sommiamo le due equazioni: $$ (\alpha + \beta) + (-\alpha + 2\beta) = 3 + 3 \Rightarrow 3\beta = 6 \Rightarrow \beta = 2 $$ Sostituiamo in $\alpha + \beta = 3$: $$ \alpha + 2 = 3 \Rightarrow \alpha = 1 $$ Quindi $r_3 = 1 \cdot r_1 + 2 \cdot r_2$, quindi $r_3$ è dipendente. Quindi $\text{rank}(A) = 2$. Calcoliamo $\text{rank}(A|B)$: $$ (A|B) = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & 3 & 0 \end{pmatrix} $$ Verifichiamo se la terza riga è combinazione lineare delle prime due: $$ \alpha (1, -1, 2) + \beta (1, 2, -1) = (3, 3, 0) $$ Dalle prime due componenti abbiamo già $\alpha = 1$, $\beta = 2$. Verifichiamo la terza componente: $$ 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) = 2 - 2 = 0 $$ Che coincide con la terza componente di $r_3$. Quindi $\text{rank}(A|B) = 2$. Poiché $\text{rank}(A) = \text{rank}(A|B) = 2$ e il numero di incognite è 2, il sistema ha soluzione unica. 4. Risolviamo il sistema: $$ \begin{cases} x - y = 2 \\ x + 2y = -1 \end{cases} $$ Sommando le due equazioni: $$ (x - y) + (x + 2y) = 2 + (-1) \Rightarrow 2x + y = 1 $$ Usiamo la prima equazione per esprimere $x$: $$ x = y + 2 $$ Sostituiamo in $2x + y = 1$: $$ 2(y + 2) + y = 1 \Rightarrow 2y + 4 + y = 1 \Rightarrow 3y = 1 - 4 = -3 \Rightarrow y = -1 $$ Quindi: $$ x = -1 + 2 = 1 $$ Soluzione: $x=1$, $y=-1$. 5. Passiamo al secondo sistema: $$ (A|B) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix} $$ Qui $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}$ e $B = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$. Calcoliamo $\text{rank}(A)$: Le righe di $A$ sono linearmente indipendenti perché non sono multiple l'una dell'altra. Quindi $\text{rank}(A) = 2$. Calcoliamo $\text{rank}(A|B)$: $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix} $$ Le righe non sono multiple, quindi $\text{rank}(A|B) = 2$. Il numero di incognite è 3, quindi $\text{rank}(A) = \text{rank}(A|B) = 2 < 3$. Il sistema è compatibile indeterminato con infinite soluzioni. 6. Passiamo al terzo sistema: $$ (A|B) = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 2 & 2 \end{pmatrix} $$ Calcoliamo $\text{rank}(A)$ con: $$ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 2 \end{pmatrix} $$ Calcoliamo il determinante di $A$: $$ \det(A) = 2 \cdot (2 \cdot 2 - 1 \cdot 3) - 1 \cdot (1 \cdot 2 - 1 \cdot 0) + 0 = 2(4 - 3) - 1(2 - 0) = 2(1) - 2 = 0 $$ Il determinante è zero, quindi $\text{rank}(A) < 3$. Verifichiamo se $\text{rank}(A) = \text{rank}(A|B)$: Applichiamo operazioni di riga per verificare la compatibilità. Dalla matrice aumentata: $$ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 2 & 2 \end{pmatrix} $$ Sottraiamo $\frac{1}{2}$ della prima riga dalla seconda: $$ R_2 \to R_2 - \frac{1}{2} R_1: (1 - 1, 2 - \frac{1}{2}, 1 - 0, 1 - 0) = (0, \frac{3}{2}, 1, 1) $$ La matrice diventa: $$ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3}{2} & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 2 & 2 \end{pmatrix} $$ Sottraiamo 2 volte la seconda riga dalla terza: $$ R_3 \to R_3 - 2 R_2: (0, 3 - 3, 2 - 2, 2 - 2) = (0, 0, 0, 0) $$ Quindi $\text{rank}(A) = \text{rank}(A|B) = 2 < 3$. Il sistema è compatibile indeterminato con infinite soluzioni. 7. Passiamo all'ultimo sistema: $$ (A|B) = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} $$ Ripetiamo le stesse operazioni: $$ R_2 \to R_2 - \frac{1}{2} R_1 = (0, \frac{3}{2}, 1, 1) $$ $$ R_3 \to R_3 - 2 R_2 = (0, 3 - 3, 2 - 2, 1 - 2) = (0, 0, 0, -1) $$ La riga finale è $(0,0,0,-1)$, che indica un'equazione impossibile $0 = -1$. Quindi $\text{rank}(A) = 2$, ma $\text{rank}(A|B) = 3$. Il sistema è incompatibile, quindi non ha soluzioni. **Risposte finali:** - Primo sistema: soluzione unica $x=1$, $y=-1$. - Secondo sistema: infinite soluzioni. - Terzo sistema: infinite soluzioni. - Quarto sistema: nessuna soluzione.