1. **Énoncé du problème :** Trouver le nombre de solutions dans $\mathbb{C}$ de l'équation $$x^2 + a|x| + b = 0$$ où $a,b \in \mathbb{R}$. 2. **Analyse de l'équation :** L'équation contient une valeur absolue $|x|$. Pour $x \in \mathbb{C}$, la valeur absolue est la norme complexe, donc $|x| = \sqrt{x\overline{x}}$. 3. **Cas $x=0$ :** Si $x=0$, alors $0^2 + a|0| + b = b = 0$. Donc $x=0$ est solution si et seulement si $b=0$. 4. **Cas $x \neq 0$ :** Posons $r = |x| > 0$. L'équation devient $$x^2 + a r + b = 0.$$ Mais $x^2$ est un nombre complexe, alors que $a r + b$ est réel. Pour que cette somme soit nulle, la partie imaginaire de $x^2$ doit être nulle. 5. **Condition sur $x$ :** Écrivons $x = r e^{i\theta}$ avec $r > 0$ et $\theta \in \mathbb{R}$. Alors $$x^2 = r^2 e^{2 i \theta} = r^2 (\cos 2\theta + i \sin 2\theta).$$ L'équation devient $$r^2 (\cos 2\theta + i \sin 2\theta) + a r + b = 0.$$ Pour que cette somme soit nulle, la partie imaginaire doit être nulle : $$r^2 \sin 2\theta = 0 \implies \sin 2\theta = 0.$$ Donc $$2\theta = k \pi, \quad k \in \mathbb{Z} \implies \theta = \frac{k \pi}{2}.$$ 6. **Valeurs possibles de $\theta$ :** Les angles possibles sont $\theta = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}$ modulo $2\pi$. 7. **Étude selon $\theta$ :** - Pour $\theta = 0$ ou $\pi$, $x^2 = r^2$ ou $r^2 e^{i\pi} = -r^2$ (réel). - Pour $\theta = \frac{\pi}{2}$ ou $\frac{3\pi}{2}$, $x^2 = r^2 e^{i\pi} = -r^2$ ou $r^2 e^{i3\pi} = -r^2$ (réel aussi). 8. **Résolution pour chaque cas :** - Si $\theta = 0$ ou $\pi$, alors $x^2 = r^2$ ou $x^2 = -r^2$. L'équation devient $$x^2 + a r + b = 0 \implies r^2 + a r + b = 0 \quad \text{ou} \quad -r^2 + a r + b = 0,$$ selon $\theta$. 9. **Cas $\theta = 0$ ou $\pi$ :** $$r^2 + a r + b = 0.$$ On cherche $r > 0$ solutions réelles positives. 10. **Cas $\theta = \frac{\pi}{2}$ ou $\frac{3\pi}{2}$ :** $$-r^2 + a r + b = 0 \implies r^2 - a r - b = 0.$$ On cherche $r > 0$ solutions réelles positives. 11. **Synthèse :** Le nombre total de solutions $x$ dans $\mathbb{C}$ est la somme des solutions positives $r$ des deux équations ci-dessus, multipliées par 2 (car pour chaque $r$ il y a deux valeurs de $\theta$ donnant la même $x^2$). 12. **Conclusion :** - Trouver les racines positives de $$r^2 + a r + b = 0$$ - Trouver les racines positives de $$r^2 - a r - b = 0$$ - Ajouter 1 si $b=0$ (solution $x=0$). - Multiplier par 2 le nombre de racines positives de chaque équation (car deux angles $\theta$ par racine). **Formule finale :** Nombre de solutions dans $\mathbb{C}$ = $$2 \times \#\{r>0 : r^2 + a r + b = 0\} + 2 \times \#\{r>0 : r^2 - a r - b = 0\} + \delta_{b=0}$$ avec $\delta_{b=0} = 1$ si $b=0$, sinon 0.