1. مسئله را بیان می‌کنیم: معادله داده شده $\frac{x}{y} = \frac{9 + y}{x}$ است و بازه $144 > x > 4$ داده شده است. 2. هدف ما حل معادله برای $y$ است. ابتدا معادله را ضرب در $y \times x$ می‌کنیم تا کسرها حذف شوند: $$x \times x = y \times (9 + y)$$ یا $$x^2 = y(9 + y)$$ 3. معادله را به شکل یک معادله درجه دوم در $y$ می‌نویسیم: $$y^2 + 9y - x^2 = 0$$ 4. برای حل معادله درجه دوم از فرمول کلی استفاده می‌کنیم: $$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ که در اینجا $a=1$, $b=9$, و $c=-x^2$ است. 5. جایگذاری مقادیر: $$y = \frac{-9 \pm \sqrt{9^2 - 4 \times 1 \times (-x^2)}}{2} = \frac{-9 \pm \sqrt{81 + 4x^2}}{2}$$ 6. بنابراین دو جواب برای $y$ داریم: $$y_1 = \frac{-9 + \sqrt{81 + 4x^2}}{2}, \quad y_2 = \frac{-9 - \sqrt{81 + 4x^2}}{2}$$ 7. چون ارتفاع مستطیل باید مثبت باشد، جواب منفی را کنار می‌گذاریم و جواب مثبت را انتخاب می‌کنیم: $$y = \frac{-9 + \sqrt{81 + 4x^2}}{2}$$ 8. در نهایت، این رابطه $y$ را بر حسب $x$ نشان می‌دهد که می‌توان برای مقادیر $x$ در بازه $4 < x < 144$ استفاده کرد. نتیجه نهایی: $$y = \frac{-9 + \sqrt{81 + 4x^2}}{2}$$