1. সমস্যাটি হলো: $m^2 - n^2 = 4\sqrt{mn}$ এবং $n = \tan\theta - \sin\theta$ দেওয়া আছে, $m$ এর মান নির্ণয় করতে হবে। 2. প্রথমে মূল সমীকরণটি লিখি: $$m^2 - n^2 = 4\sqrt{mn}$$ 3. এখানে $n$ এর মান দেওয়া আছে, তাই $n = \tan\theta - \sin\theta$ ব্যবহার করব। 4. সমীকরণটিকে পুনর্লিখন করি: $$m^2 - n^2 = 4\sqrt{mn} \implies m^2 - n^2 - 4\sqrt{mn} = 0$$ 5. $\sqrt{m}$ এবং $\sqrt{n}$ কে ভেরিয়েবল হিসেবে ধরা যাক: $a = \sqrt{m}$ এবং $b = \sqrt{n}$, তাহলে: $$m = a^2, \quad n = b^2$$ 6. মূল সমীকরণ হবে: $$a^4 - b^4 = 4ab^2$$ 7. $a^4 - b^4$ কে ফ্যাক্টরাইজ করি: $$a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$$ 8. তাই সমীকরণ: $$(a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = 4ab^2$$ 9. এখানে $a$ এবং $b$ ধনাত্মক কারণ তারা বর্গমূল। 10. এখন $a^2 = m$ এবং $b^2 = n$ বসিয়ে সমাধান করব। 11. $n$ এর মান $\tan\theta - \sin\theta$ দেওয়া আছে, তাই $b^2 = n = \tan\theta - \sin\theta$। 12. সমীকরণ থেকে $m$ এর মান বের করতে: $$m^2 - n^2 = 4\sqrt{mn}$$ 13. $m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)$, তাই: $$(m - n)(m + n) = 4\sqrt{mn}$$ 14. $m$ এবং $n$ ধনাত্মক ধরে, $\sqrt{mn} = \sqrt{m}\sqrt{n}$। 15. $m$ এর মান নির্ণয়ের জন্য, $m$ কে $x$ ধরে সমীকরণটি সমাধান করলে: $$x^2 - n^2 = 4\sqrt{x n}$$ 16. $\sqrt{x} = y$ ধরে: $$y^4 - n^2 = 4 y \sqrt{n}$$ 17. $y^4 - 4 y \sqrt{n} - n^2 = 0$ একটি চতুর্থ ডিগ্রি সমীকরণ। 18. $y^4 - 4 y \sqrt{n} - n^2 = 0$ সমাধান করতে $y$ এর মান বের করতে হবে। 19. $y$ এর মান পাওয়ার পর $m = y^2$ হবে। 20. সুতরাং, $m$ এর মান হবে: $$m = \left(\text{সমাধানযোগ্য } y \right)^2$$ 21. এখানে $n = \tan\theta - \sin\theta$ বসিয়ে $y$ এর মান নির্ণয় করতে হবে। 22. সরলীকরণের জন্য $m$ এর মান $m = \left(\text{যে } y \text{ সমাধান করে } y^4 - 4 y \sqrt{n} - n^2 = 0\right)^2$। 23. তাই $m$ সরাসরি $n$ এর উপর নির্ভরশীল এবং $m$ এর মান ধরে নেওয়া যাবে না। সারাংশ: $m$ নির্ণয়ের জন্য $y = \sqrt{m}$ ধরে $y^4 - 4 y \sqrt{n} - n^2 = 0$ সমাধান করতে হবে যেখানে $n = \tan\theta - \sin\theta$। তারপর $m = y^2$।