1. مسئله: حل معادله $1 + x = 2 \sqrt{2x - 1}$ و تعیین قابل قبول بودن ریشه‌ها. 2. فرمول و نکات مهم: - برای حل معادله شامل رادیکال، ابتدا باید طرفین را به گونه‌ای ساده کنیم که بتوان رادیکال را حذف کرد. - توجه داشته باشید که مقدار داخل رادیکال باید غیرمنفی باشد: $2x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{1}{2}$. 3. حل معادله: ابتدا معادله را می‌نویسیم: $$1 + x = 2 \sqrt{2x - 1}$$ 4. هر دو طرف را به توان 2 می‌رسانیم تا رادیکال حذف شود: $$ (1 + x)^2 = (2 \sqrt{2x - 1})^2 $$ $$ (1 + x)^2 = 4(2x - 1) $$ 5. سمت چپ را باز می‌کنیم: $$ 1 + 2x + x^2 = 8x - 4 $$ 6. همه جملات را به یک طرف منتقل می‌کنیم: $$ x^2 + 2x + 1 - 8x + 4 = 0 $$ $$ x^2 - 6x + 5 = 0 $$ 7. معادله درجه دوم را حل می‌کنیم: $$ x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} $$ 8. ریشه‌ها: $$ x_1 = \frac{6 + 4}{2} = 5 $$ $$ x_2 = \frac{6 - 4}{2} = 1 $$ 9. بررسی قابل قبول بودن ریشه‌ها با شرط $x \geq \frac{1}{2}$: - هر دو ریشه $x=1$ و $x=5$ شرط را دارند. 10. بررسی صحت ریشه‌ها در معادله اصلی: - برای $x=1$: $$ 1 + 1 = 2 \sqrt{2(1) - 1} \Rightarrow 2 = 2 \sqrt{1} = 2 $$ درست است. - برای $x=5$: $$ 1 + 5 = 2 \sqrt{2(5) - 1} \Rightarrow 6 = 2 \sqrt{9} = 6 $$ درست است. نتیجه: هر دو ریشه $x=1$ و $x=5$ قابل قبول و جواب معادله هستند.