Question: πως θα ελυνες το $\sqrt{a + b\sqrt{c}}$
1. Το πρόβλημα ζητά να εκφράσουμε το $\sqrt{a + b\sqrt{c}}$ με απλούστερη μορφή.
2. Υποθέτουμε ότι υπάρχει μια μορφή $\sqrt{a + b\sqrt{c}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}$, όπου $x$ και $y$ είναι αριθμοί που πρέπει να βρούμε.
3. Τετραγωνίζουμε και τις δύο πλευρές:
$$a + b\sqrt{c} = (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 = x + y + 2\sqrt{xy}$$
4. Συγκρίνουμε τα μέρη με και χωρίς ριζικά:
- Το μέρος χωρίς ριζικά: $a = x + y$
- Το μέρος με ριζικά: $b\sqrt{c} = 2\sqrt{xy}$
5. Από το δεύτερο, τετραγωνίζουμε και τις δύο πλευρές:
$$b^2 c = 4xy$$
6. Έχουμε το σύστημα:
$$\begin{cases} x + y = a \\ xy = \frac{b^2 c}{4} \end{cases}$$
7. Λύνουμε το σύστημα για $x$ και $y$ ως ρίζες της εξίσωσης:
$$t^2 - a t + \frac{b^2 c}{4} = 0$$
8. Υπολογίζουμε τις ρίζες:
$$t = \frac{a \pm \sqrt{a^2 - b^2 c}}{2}$$
9. Τελικά, η απάντηση είναι:
$$\sqrt{a + b\sqrt{c}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b^2 c}}{2}} + \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b^2 c}}{2}}$$
Αυτή η μορφή ισχύει όταν $a^2 \geq b^2 c$ και τα $x,y$ είναι μη αρνητικά.